Plusaufgabe und Umkehraufgabe

Datum: 08. März 2008 Autor: Anonym Kommentare: 0

Zusätzliche Informationen:

Plusaufgabe und Umkehraufgabe

Inhalt:

1. Unterrichtszusammenhang

2. Lernziele:

3. Bedingungsanalyse

4. Sachanalyse

5. Didaktische Vorüberlegungen

6. Methodische Vorüberlegungen

7. Literaturangaben

8. Verlaufsplanung

1. Unterrichtszusammenhang

Thema der Unterrichteinheit:

Aufgabenbeziehungen

Die Stunden im Einzelnen:

1. Tauschaufgaben
2. Plusaufgabe und Umkehraufgabe (2 Std.)
3. Minusaufgabe und Umkehraufgabe
4. Übungen zu Aufgabenfamilien ( 2 Std.)
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2. Lernziele:

Groblernziel der Stunde:

Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen einer Additionsaufgabe und der zugehörigen Umkehraufgabe erkennen und in die Lage versetzt werden, entsprechende Aufgaben zu bilden.

Feinlernziele:

Die Schüler sollen...
LZ 1: ...die Umkehrbarkeit von Handlungen erfahren, indem sie eine Geschichte hören und ihren mathematischen Inhalt mit Gummibärchen nachlegen.
LZ 2:...den Zusammenhang zwischen einer Additionsaufgabe und der zugehörigen Umkehraufgabe erkennen, indem sie zwei Aufgaben vergleichen und die Summe bilden.
LZ 3: ...zu einer Additionsaufgabe die zugehörige Umkehraufgabe bilden, indem sie die Handlungen zunächst mit Gummibärchen durchführen und anschließend den Aufgabenterm notieren.
LZ 4: ... die neu erworbenen Einsichten anwenden, indem sie im Abschlussspiel ihren Partner mit der zugehörigen Umkehraufgabe finden.

Erziehungsziele:

Die Schüler sollen lernen ...
LZ 5: ...sich an festgelegte Gesprächsregeln zu halten.
LZ 6: ...selbstständig und ausdauernd gestellte Aufgaben zu bewältigen.
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3. Bedingungsanalyse

nicht abgedruckt
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4. Sachanalyse

Rechenoperationen existieren niemals isoliert, sondern immer nur im Zusammenhang mit ihren Umkehroperationen (vgl. Radatz / Schipper 1983, S. 198). Eine Umkehraufgabe macht die ursprüngliche Rechenoperation rückgängig. Man erhält sie, indem man die inverse Operation anwendet. Die inverse Operation der Addition ist die Subtraktion. Es gilt: a + b = c c - a = b und c - b = a. Die inverse Operation der Subtraktion ist die Addition. Es gilt: a - b = c c + b = a. Die inverse Operation der Multiplikation ist die Division. Es gilt: a * b = c c : a = b und c : b = a. Bei der Division gilt: a : b = c c * b = a. In dieser Stunde werden Aufgaben vom Typ a + b = c sowie deren Umkehraufgaben behandelt.
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5. Didaktische Vorüberlegungen

Das Thema dieser Stunde ist in den Rahmenrichtlinien für die Grundschule dem Themenkreis „Natürliche und Rechenoperationen" zuzuordnen. Die Schüler sollen in die Lage versetzt werden, zu einer Additionsaufgabe die zugehörige Subtraktionsaufgabe zu bilden und umgekehrt (vgl. RRL 1984, S. 24). Sie sollen die Reversibilität von Rechenoperation erfahren, d. h., dass eine Rechenoperation durch die zugehörigen Umkehroperationen rückgängig gemacht werden kann (vgl. Radatz / Schipper 1982, S. 198).
Der Zugang hierzu muss für die Schüler künstlich durch eine Geschichte geschaffen werden. Aus ihren Alltagserfahrungen wissen diese, dass viele Handlungen eben nicht rückgängig gemacht werden können. Eine beim Toben heruntergerissene und dabei zerbrochene Blumenvase erhält nicht ihren ursprünglichen Wert zurück, auch wenn sie geklebt wird. Handlungen, wie Peter legt erst drei und dann zwei Äpfel auf den Tisch und nimmt dann zwei wieder weg, enthalten zwar den mathematischen Kern einer Umkehraufgabe, sind für die Alltag doch eher untypisch und wirken daher mathematisch konstruiert.
Trotzdem hat die Einsicht in den Zusammenhang zwischen Aufgabe und Umkehraufgabe bereits im 1. Schuljahr eine große Bedeutung. Schüler, die diese Beziehung erkannt haben, sind in der Lage sich das kleine Einsminuseins aus dem kleinen Einspluseins abzuleiten. Auf diese Weise reduziert sich die Anzahl der im 1. Schuljahr zu lernenden Aufgaben um 50 % (vgl. Radatz / Schipper / Dröge / Ebeling 1996, S. 85). Des Weiteren steht Schüler, die das Prinzip der Reversibilität von Rechenoperationen durchschaut haben eine wirksames Mittel zur Selbstkontrolle zur Verfügung. Sie können die Umkehraufgabe als Probeaufgabe einsetzen und auf diese Art ihre Rechnung selbstständig kontrollieren.
Die Einsicht in den Zusammenhang von Aufgabe und Umkehraufgabe hat aber auch eine große Zukunftsbedeutung für die Schüler. Sie fördert das Verständnis für grundlegende Beziehungen im Zahlsystem und damit die Fähigkeit flexibel mit Zahlen umzugehen. Diese Fähigkeit ist Grundvoraussetzung für die Entwicklung heuristischer Strategien zur Lösung von Rechenaufgaben (vgl. a.a.O. S 83)..
Als didaktischen Schwerpunkt für diese Stunde habe ich mich für Umkehraufgaben des Typs
a + b = c c - b = a entschieden, da dieser Aufgabentyp besonders gut handelnd erarbeitet werden kann. Zu einer Menge werden mehrere Objekte hinzugefügt (a + b = c) und dann wieder entfernt (c - b = a). Grundschulkinder befinden sich nach Piaget in der Phase des konkret-operativen Lernens. Ausgangspunkt für die Erarbeitung sollten daher immer konkrete Handlungen sein (vgl. Radatz / Schipper 1983, S. 198). Die zweite Umkehroperation (c - a = b), die weniger gut handelnd dargestellt werden kann, werde ich daher erst in der nächsten Stunde thematisieren, nachdem die Schüler bereits erste Erfahrungen über die Reversibilität von Rechenoperationen gesammelt haben.
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6. Methodische Vorüberlegungen

Zu Beginn der Stunde treffen sich die Schüler im Sitzkreis. Ich werde dort die Geschichte von einem Kind erzählen, dass Gummibärchen liebt. Die Geschichte aus der Vorstellungswelt der Schüler soll diese zum einen zur Mitarbeit motivieren, zum anderen wird durch sie ein Zugang zum Thema geschaffen. Die Schüler vollziehen die Geschichte nach, indem die entsprechenden Handlungen (nehmen und weggeben) mit Gummibärchen durchführen und notieren anschließend die beiden Aufgabenterme an der Tafel. Aufbauend auf diese konkreten Handlungen wird die Umkehrbarkeit der Additionsaufgabe durch eine Subtraktionsaufgabe erarbeitet. Es wird dabei der Forderung Piagets nachgekommen, dass Lernprozesse in der Grundschule ihren Ausgangspunkt immer bei konkreten Handlungen haben sollten (vgl. a.a.O). Die Sozialformen Sitzkreis haben ich gewählt, um allen Schüler einen ungehinderten Zugang zu den Gummibärchen zu gewähren.
Anschließend werde ich den Sitzkreis auflösen, da sich die Schüler in dieser Sozialformen nur sehr kurz konzentrieren können. Außerdem ist es für den weiteren Unterrichtsverlauf erforderlich, dass alle Schüler einen guten Blick zur Tafel haben. Anhand mehrerer Beispiele wird der Zusammenhang zwischen Additions- und Subtraktionsaufgaben an der Tafel weiter erarbeitet.
Die Schüler sind es gewohnt, zunächst gemeinsam an einem Sachverhalt zu arbeiten. Schwächerer Kinder können hierbei, angeregt durch stärkere Schüler, den Denkvorgängen zum Thema folgen, bzw. diese erkennen. Auf diese Weise soll sichergestellt werden, dass bei allen Schülern die erforderlichen Lernvoraussetzungen vorhanden sind, damit sie die nachfolgende Einzelarbeit bewältigen können.
In dieser Arbeitsphase soll die Schüler das Gelernte selbstständig anwenden und vertiefen. Das Arbeitsblatt enthält nach Schwierigkeiten gestufte Aufgaben. Zunächst müssen die Aufgabe und die zugehörige Umkehraufgabe lediglich ausgerechnet werden. In der nächsten Aufgabe muss vor der Rechnung noch der Subtrahend bestimmt werden. Bei zwei Aufgaben sind sowohl Minuend und Subtrahend zu bestimmen. Diese Stufung soll den Lernprozess, insbesondere bei leistungsschwächeren Schüler, unterstützen, damit auch diese am Ende der Stunde selbstständig in der Lage sind, Umkehraufgaben zu bilden. Die Schüler sollen die einzelnen Aufgaben mit Gummibärchen nachlegen. Diese Vorgehensweise ist zum einen eine Hilfestellung für schwächere Schüler zur Berechnung der Aufgaben, zum anderen wird der Zusammenhang von Aufgabe und Umkehraufgabe auf diese Weise nachhaltiger von den Schülern verinnerlicht. Die mit * gekennzeichneten Aufgaben stellen Zusatzsaufgaben für schnellere Schüler dar. Für diese steht zudem noch eine Extrablatt zur Verfügung.
In der abschließenden Phase sollen die Schüler zeigen, dass sie zu einer Aufgaben die zugehörige Umkehraufgabe finden können. Dazu erhalten sieben Schüler Aufgabenkarten mit Plusaufgaben, die übrigen solche mit den zugehörigen Umkehraufgaben. Diese Aufgabenstellung weist einen erhöhten Schwierigkeitsgrad auf, da die Schüler ausschließlich auf der symbolischen Ebene operieren müssen. Durch die Verteilung der Aufgabenkarten erhält die Zuordnung von Aufgabe und Umkehraufgabe einen spielerischen Charakter. Ich hätte in dieser Phase auch Aufgaben an der Tafel notieren können und die Schüler dann bitten können, die Umkehraufgaben anzuschreiben. Die Form eines Spiel erschien mir hier jedoch sinnvoller, da sie die Schüler mehr motiviert.
In dieser Stunde habe ich Umkehraufgaben mit Hilfe von Handlungen mit Einzelobjekten eingeführt. Statt dessen hätte ich diese auch am Zahlenstrahl verdeutlichen können. Diese hätte von den Schülern jedoch ein größeres Abstraktionsvermögen verlangt. Um schwache Schüler nicht zu überfordern habe, ich daher den handlungsorientierteren Zugang gewählt.
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7. Literaturangaben

- Böhmer, J. P.; Jander, E.; Schalke, W. (Hrsg.): Mathematik begreifen. 1. Schuljahr. Lehrerleitfaden. Leipzig 2001.
- Foedrowitz, I.: So rechne ich gern. Aufgabensammlung 1./2. Schuljahr. Braunschweig 1991.
- Niedersächsisches Kultusministerium (Hrsg.): Rahmenrichtlinien für die Grundschule Mathematik. Hannover 1984.
- Radatz, H.; Schipper, W.; Ebeling, A.; Dröge, R.: Handbuch für den Mathematikunterricht. 1. Schuljahr. Hannover 1996.
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8. Verlaufsplanung

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