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Rechnen mit zusammengesetzten Flächen

Rechnen mit zusammengesetzten Flächen
Unterrichtsentwurf Arbeitsmaterial enthalten
Datum: 28. Dezember 2008 Autor: jmeier Kommentare: 0

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Beschreibung:

Die SchülerInnen sollen in dieser Unterrichtsstunde den Flächeninhalt von Flächen, die sich aus Rechtecken zusammensetzen lassen, berechnen können. Durchgeführt in einer 5. Klasse.


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Rechnen mit zusammengesetzten Flächen


Rechnen mit zusammengesetzten Flächen

Inhaltsverzeichnis

1. LERNZIELE/KOMPETENZEN
1.1.GROBLERNZIEL
1.2.FEINLERNZIELE
1.3.KOMPETENZEN

2. LERNGRUPPE UND TECHNISCHE VORAUSSETZUNGEN

3. BEMERKUNGEN ZUM FACHGEGENSTAND

4.ÜBERLEGUNGEN ZUM LERNGEGENSTAND (DIDAKTISCHE ANALYSE)
4.1.EINORDNUNG IN DEN LEHRPLAN
4.2.EINBETTUNG IN DIE UNTERRICHTSREIHE
4.3.RELEVANZ DES UNTERRICHTSGEGENSTANDES
4.4.INHALTLICHE KONZEPTION DER STUNDE

5. METHODISCHE ÜBERLEGUNGEN

6. LITERATUR

7. ANHANG

1. LERNZIELE/KOMPETENZEN

1.1.GROBLERNZIEL

Die Schüler [1] sollen den Flächeninhalt von Flächen, die sich aus Rechtecken zusammensetzen lassen, berechnen können.
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1.2.FEINLERNZIELE

Die Schüler können
· den Flächeninhalt einer zusammengesetzten Fläche berechnen, indem sie die Figur in geeignete Teilflächen zerlegen, diese berechnen und dann die Flächeninhalte der Teilflächen addieren.
· den Flächeninhalt einer zusammengesetzten Fläche berechnen, indem sie die Figur geeignet ergänzen, diesen Flächeninhalt berechnen und die hinzugefügten Flächeninhalte subtrahieren.
· zusammengesetzte Flächen erkennen und selbständig ergänzen oder zerlegen, so dass eine Berechnung möglich ist.
· ihre Ergebnisse einer Zerlegung/Ergänzung vor der Klasse präsentieren
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1.3.KOMPETENZEN

Die Schüler sollen
· Lösungswege beschreiben und begründen (K1).
· Vorgegebene Probleme bearbeiten (K2).
· Fachsprache adressatengerecht verwenden (K6).
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2. LERNGRUPPE UND TECHNISCHE VORAUSSETZUNGEN

Seit April 2008 unterrichte ich die Klasse 5e im angeleiteten Unterricht mit einer Unterbrechung von 5 Wochen. Ich habe die Klasse vier Stunden in der Woche. Sie setzt sich aus zehn Schülerinnen und neunzehn Schülern zusammen. Auf Grund der großen Klassengröße muss auf ein ruhiges Arbeitsklima geachtet werden, denn einige Schüler neigen immer wieder zu Zwischenrufen. Die Sitzordnung ist nicht ideal, da der größte Unruheherd direkt vorm Pult sitzt. Diese Sitzordnung ist von der Klassenlehrerin so gewünscht und wird deswegen von meiner Seite nicht geändert. Ansonsten kann eher von einer disziplinierten Klasse gesprochen werden.

Ein Schüler ist schwerhörig und benötigt ein Hörgerät. Damit mich dieser Schüler versteht muss ich ein Mikrofon tragen. Die Mitschüler kann er nur verstehen, wenn sie laut und deutlich reden.

Die Leistungen der Klasse sind insgesamt durchschnittlich, was im schriftlichen Bereich durch die Noten der letzten Klassenarbeit bestätigt wird. Nicht unüblich für eine fünfte Klasse ist, dass die Schüler noch Probleme haben, sauber mathematisch zu formulieren, obwohl dies im Unterricht ständig eingefordert wird. Die Mitarbeit ist bis auf wenige Ausnahmen rege. Schüler, die sich nie melden und nur durch Aufrufen am Unterricht beteiligt werden können finden sich sowohl in der Spitze als auch am Ende der Leistungsskala.

Partner- und Gruppenarbeit ist in dieser Klasse noch nicht so gut eingeübt. Problematisch ist hier auch ein leistungsschwaches Mädchen, das nicht in der Klasse integriert zu sein scheint und sich der Gruppenarbeit schon total verweigert hat. Präsentieren von Ergebnissen wurde ebenfalls mit den Schülern noch nicht ausreichend eingeübt.
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3. BEMERKUNGEN ZUM FACHGEGENSTAND

Rechnen mit zusammengesetzten Flächeninhalten beinhaltet zwei Strategien [2] Zerlegen und Ergänzen.

Beim Zerlegen wird die Figur in Rechtecke zerlegt, deren Flächeninhalt einfach durch Multiplikation von Länge und Breite bestimmt wird. Schließlich werden alle Flächeninhalte addiert, um den Gesamtflächeninhalt zu bestimmen.

Beim Ergänzen werden Teilstücke zur Figur hinzugefügt, um ein Rechteck zu bekommen dessen Flächeninhalt bestimmt wird. Nun müssen nur noch die Flächeninhalte von den hinzugefügten Teilstücken subtrahiert werden, um den Flächeninhalt von der ursprünglichen Figur zu erhalten.

Auch Division und Multiplikation von Flächeninhalten sind möglich. Bei gleichen Rechtecken kann der Flächeninhalt aller Rechtecke durch Multiplikation bestimmt werden, falls der Inhalt einer Fläche eines Rechtecks bekannt ist oder bestimmt werden kann.

Bei der Division werden zwei Typen unterschieden:

Erstens, das gleichmäßige Verteilen einer Fläche. Eine typische Aufgabe hierzu wäre zum Beispiel wenn ein Grundstück auf eine feste Zahl Erben aufgeteilt werden muss. Hier wird der Flächeninhalt durch eine dimensionslose Zahl dividiert und man erhält als Resultat einen Flächeninhalt.

Zweitens, das Zerlegen in gleich große Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt. Eine typische Aufgabe wäre hierzu folgendes Problem: Ein Rasen von 100m² soll angelegt werden. Ein Sack Saatgut reicht für 20m². Im Gegensatz zum ersten Typ, wird hier durch einen Flächeninhalt dividiert und man erhält als Ergebnis eine dimensionslose Zahl.
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4.ÜBERLEGUNGEN ZUM LERNGEGENSTAND (DIDAKTISCHE ANALYSE)

4.1.EINORDNUNG IN DEN LEHRPLAN

Der Rahmenlehrplan Mathematik bedingt im Bereich der mathematischen Leitideen L2 „Messen und Größen" die Berechnung von Flächeninhalten [3]. Zur Vertiefung sollen die Berechnungen auch an zusammengesetzten Flächen erfolgen. Eine explizite Unterscheidung der Division einer Größe durch eine Zahl bzw. durch eine Größe wie es im Lehrplan gefordert wird, wird in dieser Stunde nicht thematisiert.
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4.2.EINBETTUNG IN DIE UNTERRICHTSREIHE

Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks wurde schon in vorangegangenen Stunden behandelt und auch eingeübt. Das Rechnen mit Dezimalzahlen, hier insbesondere das Multiplizieren zweier Dezimalzahlen, wurde ebenfalls eingeübt. In der letzten Stunde wurde beim Berechnen des Flächeninhalts Wert auf eine formal korrekte Schreibweise gelegt.

Basierend auf diesen Kenntnissen ist es Thema der Lehrprobenstunde, zusammengesetzte Flächen zu berechnen. Hierbei ist es irrelevant, alle verschiedenen Methoden als Merksatz zu kennen. Wichtig ist vielmehr, dass die Schüler zu einer Lösung finden, wenn der Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen berechnet werden muss.

Im Anschluss an die Stunde sollte das erworbene Wissen nochmals zur Vertiefung geübt werden. Damit könnte dann die Unterrichtsreihe über Flächen abgeschlossen werden oder eventuell könnte noch das Schätzen von Flächeninhalten behandelt werden.
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4.3.RELEVANZ DES UNTERRICHTSGEGENSTANDES

Zusammengesetzte Flächen kommen nicht nur in der Welt der Schüler häufig vor. Schon bei der Hausaufgabe, als die Schüler den Flächeninhalt ihres Kinderzimmers berechnen mussten, war die Annäherung des Zimmers an ein Rechteck unbefriedigend. Ist die Berechnung eines Rechtecks doch sehr speziell, so können mit zusammengesetzten Flächen eine Vielzahl von Problemen gelöst werden, notfalls als Annäherung oder Schätzung.
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4.4.INHALTLICHE KONZEPTION DER STUNDE

Als Einstieg bietet sich natürlich eine zusammengesetzte Fläche an, die es zu berechnen gilt. Geschichten dazu gibt es in den Schulbüchern einige, zum Beispiel eine Wand, die gestrichen werden muss ohne Fenster und Türen oder eine Rasenfläche, die eingesät werden muss, wobei das Gartenhaus ausgespart wird etc. Ich habe mich gegen solch ein Beispiel entschieden um besser differenzieren zu können. Statt den Inhalt einer zusammengesetzten Fläche zu berechnen, müssen die Schüler die Flächeninhalte von verschiedenen Grundstücken berechnen.

In den Schulbüchern sucht man einen Einstieg zu diesem Thema meist vergebens („Lambacher Schweizer", „Neue Wege", „Focus"). Eiine Ausnahme bildet das Buch „Elemente der Mathematik". In diesem Buch wird zu jeder Strategie eine Aufgabe beispielhaft vorgerechnet. Dies ist insbesondere für schwächere Schüler reizvoll, ist aber in dieser strikten Form, wo kein Platz für eigene Ideen der Schüler mehr ist, nicht mehr zeitgemäß. Meine Einstiegsaufgabe habe ich aber in diesem Buch an anderer Stelle gefunden.

Ich habe als Einstieg eine Textaufgabe gewählt, bei der die Flächeninhalte von vier verschiedenen Grundstücken berechnet werden sollen. Grundstück B ist dabei ein Rechteck und die Schwierigkeit besteht hierin, die Maße zu finden um den Flächeninhalt zu berechnen. Es ist die einfachste Aufgabe. Die Flächeninhalte von Grundstück A, C und D können sowohl durch Zerlegung der Grundstücke in Rechtecke als auch durch Ergänzen zum Rechteck und anschließender Subtraktion gewonnen werden. Bei der Zerlegung gibt es bei jedem Grundstück wiederum zwei Möglichkeiten, so dass pro Grundstück drei Lösungsmöglichkeiten existieren. Es wäre vorteilhaft, wenn die Schüler sowohl das Verfahren der Zerlegung als auch das Verfahren der Ergänzung finden würden. Falls dies nicht der Fall sein sollte, so werde ich mich mit der Lösung zufrieden geben und nicht auf eine alternative Berechnung drängen, da hier die Problemlösefähigkeit im Vordergrund stehen sollte. Die Berechnung des Flächeninhalts von Grundstück C ist am anspruchsvollsten, da hier die meisten Werte der Seiten nicht direkt angegeben sind.

Die Aufgabe wurde nicht unverändert aus dem Buch übernommen. Um die Motivation zu erhöhen, wurde die Aufgabe in eine Geschichte eingebettet. Auch die Beschriftung der Grundstücke wurde geändert. Statt die Grundstücke durchzunummerieren wurden den Grundstücken Buchstaben gegeben. Wenn die Grundstücke zerlegt werden erlaubt dies eine einfachere Beschriftung der Teilflächen (z.B. AB1 statt A2,1 ). Von einer Reduzierung der Grundstücke auf drei habe ich abgesehen, da ich eine große Klasse habe und eine Verringerung der Anzahl für die Klasse mehr doppelte Arbeit bei der Partnerarbeit bedeutet hätte. Auch wird die Geschichte um die Aufgabe unglaubwürdig, wenn die Grundstücke nicht ähnlich groß sind. Die große Gefahr dabei ist natürlich der höhere Zeitbedarf.

In der Erarbeitungsphase sollen die Schüler den Flächeninhalt der Grundstücke berechnen. Sollten hier wider Erwarten die Schüler auf keine Lösung kommen, so werde ich eine gestrichelte Linie vorgeben. Damit wäre allerdings auch der Lösungsweg schon vorgegeben.

Probleme wird es wahrscheinlich bei der Präsentation geben, da die Schüler dies noch nicht beherrschen. Auch wird eine korrekte saubere Darstellung des Lösungswegs eher selten sein. Ich werde deswegen vor der Präsentation eine Vorauswahl treffen. Die Sicherung der Ergebnisse erfolgt an der Tafel. Merksätze werden dazu nicht formuliert, da den Schülern eine korrekte formale Beschreibung wenig hilft und bei diesem Thema die praktische Anwendung im Vordergrund steht.

Zum Festigen des Erlernten bietet sich als Hausaufgabe die Nummer 35 auf Seite 205 an (Neue Wege), mit der auch schon in der Stunde begonnen werden kann, je nachdem wie weit die Stunde schon fortgeschritten ist.
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5. METHODISCHE ÜBERLEGUNGEN

Die Stunde beginnt mit einer Aufgabe, die auf den Overheadprojektor gelegt wird. Ich werde die Aufgabe als stillen Impuls geben. Die Schüler werden daraus ein Problem formulieren. Falls es hier Schwierigkeiten geben sollte werde ich einzelne Hinweise geben, um nicht zuviel Zeit zu verlieren. Da die Schüler es gewohnt sind mit offenen Fragen zu arbeiten erwarte ich an dieser Stelle aber keine Schwierigkeiten.

Das Problem ist: „Welche Grundstücke können sich die Simpsons leisten?"

Als erster Schritt muss der Flächeninhalt der Grundstücke ausgerechnet werden. Dies soll in Partnerarbeit geschehen. Die Klasse sitzt bereits an Zweiertischen, so dass die Schüler auf ihren Plätzen bleiben können, lediglich Xaver, der alleine sitzt, muss sich umsetzen. Durch die Partnerarbeit ist ein Differenzieren des Schwierigkeitsgrades der Aufgaben möglich. Alle vier Grundstücke haben jeweils eine andere Farbe, die einem Schülerpaar zugeordnet wird. Jedes Schülerpaar muss also nur für ein Grundstück den Flächeninhalt berechnen. Die Aufteilung der Aufgaben erfolgt über den Sitzplan, der als Folie aufgelegt wird. Da die Zeichnung der Grundstücke zu komplex ist, wird aus Zeitgründen und der Übersichtlichkeit wegen ein Arbeitsblatt ausgeteilt.

Während der Bearbeitung teile ich Folien aus, an die Teams, deren Lösungen viel versprechend aussehen. Dies spart Zeit, wenn die Gruppen ihre Lösungen präsentieren. Auch ist auf den Folien eine Skizze von dem jeweiligen Grundstück. Dies erleichtert die Präsentation ohne die Schüler zu gängeln, da damit noch keine Lösung vorgegeben ist. Die Präsentation ist eine sehr kritische Phase. Wenn Schüler ihren Rechenweg erklären kann das mitunter sehr langatmig geschehen. Auch fehlt den Schülern im Präsentieren von Ergebnissen noch ein wenig die Übung. Um nicht zuviel Zeit zu verlieren werde ich die Sicherung an der Tafel selbst übernehmen und mir nur von der Gruppe die Lösung von der Folie diktieren lassen. Der Rechenweg zum Flächeninhalt von Grundstück B wird ohne Folienpräsentation an der Tafel gesichert, weil es sich hier um ein einfaches Rechteck handelt.

Nachdem die Flächeninhalte von allen Grundstücken an der Tafel stehen kann die abschließende Frage geklärt werden, welches Grundstück sich die Simpsons leisten können.

Je nachdem wie weit die Stunde nun fortgeschritten ist kann noch der Flächeninhalt des Weges zu den Grundstücken in Stillarbeit berechnet werden. Hier ist ein Methodenwechsel angebracht. Die Schüler sollen Gelegenheit bekommen für sich zu überprüfen, ob sie die Berechnungen nachvollziehen können. Sollte noch mehr Zeit übrig sein kann stattdessen auch die Aufgabe Nr. 35 auf Seite 205 (Neue Wege) bearbeitet werden.
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6. LITERATUR

[1] Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Jugend und Kultur Rheinland-Pfalz, „Rahmenlehrplan Mathematik; Klassenstufen 5-9/10"
[2] Lambacher Schweizer 5: Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium, Ausgabe A"; Ernst Klett Verlag, Stuttgart Düsseldorf Leipzig, 1. Auflage 2007
[3] Mathematik Neue Wege, Arbeitsbuch für Gymnasien, Rheinland-Pfalz, 5. Schuljahr; Schroedel Verlag, Hannover 2005
[4] Elemente der Mathematik 5, Rheinland-Pfalz, 5. Schuljahr; Schroedel Verlag, Hannover 2006
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Fußnoten:

[1] Der Begriff Schüler wird in diesem Entwurf geschlechtsneutral als Oberbegriff für weibliche und männliche Schüler verwendet. Lediglich bei der Beschreibung der Lerngruppe wird zwischen Schülerinnen und Schülern unterschieden, um auf die Verteilung einzugehen
[2] Elemente der Mathematik 5, Schroedel, Braunschweig 2006
[3] Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Jugend und Kultur Rheinland-Pfalz, „Rahmenlehrplan Mathematik; Klassenstufen 5-9/10"

 

 

 

 

 



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