Mal-Plus-Häuser

„Mal-Plus-Häuser" - Auseinandersetzung mit einem substanziellen Übungsformat zur Addition und Multiplikation

Intention der Unterrichtseinheit

Die Kinder sollen das substanzielle Übungsformat „Mal-Plus-Häuser" kennen lernen, Erkenntnisse über die Zusammenhänge der einzelnen Stockwerke erwerben sowie Parallelen zu „Plus-Häusern" herstellen. Dabei soll ein vertiefendes Üben der beiden Grundrechenarten Addition und Subtraktion erreicht werden. Zudem soll das Distributivgesetz angebahnt und die Versprachlichung der gewonnenen Erkenntnisse seitens der Kinder geübt werden.

Thema der Stunde

Kennenlernen des substanziellen Übungsformates „Mal-Plus-Haus" und Auseinandersetzung mit seinen Gesetzmäßigkeiten

Intention der Stunde

Die Kinder sollen den Aufbau des Mal-Plus-Hauses" entdecken und versprachlichen und darüber hinaus Lösungsmöglichkeiten finden, um fehlende Zahlen im Erdgeschoss des Hauses herauszubekommen. Zudem sollen sie die Beziehung zwischen der mittleren Zahl im Erdgeschoss und den beiden Zahlen im ersten Stock als Faktor der beiden Zahlen durchschauen.

Sequenzen der Unterrichtseinheit

1. Sequenz: Kennenlernen des „Plus-Hauses": die Kinder entdecken den Aufbau und Besonderheiten

2. Sequenz: Entdeckungen und Begründungen von Mustern an Plus-Häusern

3. Sequenz: Kennenlernen des substanziellen Übungsformates „Mal-Plus-Haus" und Auseinandersetzung mit seinen Gesetzmäßigkeiten

4. Sequenz: Initiierung der Entdeckung des Distributivgesetzes als innermathematische Struktur des Mal-Plus-Hauses

5. Sequenz: Die Nutzung des Distributivgesetzes als gezielte Lösungsstrategie wird angebahnt

Sequenz: vertiefende Auseinandersetzung mit dem Distributivgesetz mit Hilfe von beziehungshaltigem Rechnen

Darstellung des didaktischen Schwerpunktes:

In dieser Unterrichtseinheit geht es um die vertiefende Auseinandersetzung mit dem substanziellen Übungsformat „Mal-Plus-Häuser". Dieses Format dient einerseits der Übung und Festigung der Addition und Multiplikation und bietet gleichzeitig die Möglichkeit, mathematische Strukturen und Zusammenhänge zu entdecken und zu untersuchen. „Produktives Üben [...] ist integraler Bestandteil des Lernprozesses[...]: Es sollte ‚entdeckend geübt' und ‚übend entdeckt' werden".[1] {#_ftn1} Wesentlicher Bestandteil produktiven Übens ist das Beschreiben und Begründen entdeckter Regelmäßigkeiten und Beziehungen sowie ein Erklären von Lösungswegen. Diese sprachlichen Aktivitäten werden durch Mal-Plus-Häuser angeregt.

Über die Wiederholung und Anwendung von Addition und Multiplikation soll die Sicherheit der Kinder bei diesen Grundrechenarten gefördert und automatisiert werden. Dies entspricht der formulierten Kompetenzerwartung am Ende der Klasse 2: „Die Schülerinnen und Schüler verwenden Fachbegriffe richtig, lösen Additionsaufgaben [...] im Zahlenraum bis 100 unter Ausnutzung von Rechengesetzen [...] und geben die Kernaufgaben und einzelne weitere Aufgaben des kleinen Einmaleins automatisiert wieder."[2] {#_ftn2}

Die Kinder haben in diesem Schuljahr den Zahlenraum bis 100 erschlossen und in diesem Zusammenhang die Addition und Multiplikation ausführlich thematisiert. Zum Abschluss des Schuljahres sollen sie nun ihre Kenntnisse weiterentwickeln und vertiefen. Dies gelingt am besten durch problemorientiertes, operatives und anwendungsbezogenes Üben.

Eine Behandlung des Übungsformates Mal-Plus-Haus bietet sich eher zum Ende des zweiten Schuljahres an, da die Kinder sicher im Multiplizieren und Addieren sein müssen. Mal-Plus-Häuser lassen sich mit entsprechenden Zahlen aber auch noch im 3 und 4. Schuljahr behandeln. Durch Mal-Plus-Häuser sollen die Kinder dazu angeregt werden, Entdeckungen zu multiplikativen Zusammenhängen und Gesetzmäßigkeiten zu machen. Da Mal-Plus-Häuser keine Routine-Aufgaben darstellen, kommt es bei ihnen nicht auf ein schnelles Erzielen richtiger Ergebnisse oder einen Nachweis des Könnens an, sondern um überlegtes Erkunden und Ausprobieren. Die Lösungsstrategien müssen von den Kindern selbst entwickelt werden. Dies schult wiederum die prozessbezogenen Kompetenzen. In dieser Stunde steht die Förderung der Fähigkeiten ‚ Problemlösen, Argumentieren, Darstellen/Kommunizieren im Vordergrund. Die Kinder arbeiten an dem Übungsformat Mal-Plus-Häuser und sollen unter der ‚Problemstellung', Auffälligkeiten zu entdecken, auf Zusammenhänge stoßen. Zudem sollen sie Vermutungen über mathematische Zusammenhänge anstellen. Weiterhin sollen die Kinder in ihren verbalen Fähigkeiten gefördert werden, indem sie ihre Entdeckungen nachvollziehbar erläutern.

Mal-Plus-Häuser gehören zu den sog. „substanziellen" Übungsformaten. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass nacheinander mehrere Operationen durchzuführen sind - also in diesem Fall Addition und Multiplikation. Die einzelnen Aufgaben werden dabei nicht isoliert gerechnet, sondern zu einer Struktur oder einem Muster verknüpft. In diesem Fall sind Addition und Multiplikation miteinander verknüpft. Da die einzelnen Zahlen mehrfach in die beiden Operationen einfließen, entsteht ein komplexes Beziehungsgeflecht zwischen den zu lösenden Aufgaben und ihren Ergebnissen. Sie bieten nachhaltige Ansatzpunkte zum Rechnen, Problemlösen, Argumentieren und Kommunizieren, da sich die Kinder über bekannte Strukturen und Beziehungen zum Lösen der Häuser verständigen müssen.[3] {#_ftn3}

Das Mal-Plus-Haus besteht aus drei Stockwerken (Erdgeschoss, erster Stock, Dachgeschoss) und erinnert daher in seinem Aufbau an Zahlenmauern.

 

Im Erdgeschoss werden multiplikative und im ersten Stock additive Operationen verlangt. Besonders die Form eines Hauses erleichtert den Kindern das Lokalisieren und Benennen der einzelnen Zahlen und das Beschreiben ihrer operativen Beziehungen zueinander. Zudem ist das Format äußerst ergiebig in Bezug auf die Entdeckung des zu Grunde liegenden Distributivgesetzes, das in dieser Einheit angebahnt werden soll. (Siehe Abb. 1) Dieses stellt die innermathematische Struktur des Mal-Plus-Hauses dar.[4] {#_ftn4}

Folgende mathematische Strukturen lassen sich an Mal-Plus-Häusern entdecken:

die Zahlen im Erdgeschoss werden miteinander multipliziert die Zahlen im ersten Stock werden addiert die Summe steht im Dachgeschoss im Erdgeschoss dürfen nur die Zahlen von 0 - 9 stehen, da die Ergebnisse für Kinder im 2. Schuljahr sonst zu groß würden die mittlere Zahl aus dem Erdgeschoss steckt in beiden Zahlen aus dem ersten Stock, da sie ein Faktor der beiden Zahlen ist wenn man die linke und die rechte Zahl im Erdgeschoss addiert und mit der mittleren Zahl addiert, kommt die Summe aus dem Dachgeschoss heraus

Die Entdeckungen sind in ihrem Anspruch an die Fähigkeiten der Kinder sehr unterschiedlich, so dass in dieser Stunde bei dem ersten Erkunden des Formates eher die Entdeckungen 1, 2 und 3 zu erwarten sind. Die Kinder sollen aber in dieser Stunde durch entsprechende Aufgabenformate zu der Entdeckung Nr. 5 angeleitet werden. Dazu erhalten die Kinder differenzierte Arbeitsblätter. Auf diesen sollen sie Mal-Plus-Häuser nach dem besprochenen Schema an der Tafel vervollständigen und dabei auch Überlegungen anstellen, wie sie dies erreichen können, wenn nicht alle drei Zahlen im Erdgeschoss vorgegeben sind. Aufgaben für die leistungsstarken Kinder sind mit einem Stein gekennzeichnet, Aufgaben für leistungsschwächere Kinder mit einer Feder. Kinder, die schnell fertig sind, können noch zusätzliche Aufgaben bearbeiten, leistungsschwächere erhalten die Möglichkeit, auch die schwereren Aufgaben des Symbols Stein zu probieren. Dadurch soll sichergestellt werden, dass jedes Kind nach seinen Möglichkeiten Mal-Plus-Häuser vervollständigen und darüber hinaus zu Einsichten in die Beziehung zwischen der mittleren Zahl im Erdgeschoss und den beiden Zahlen im ersten Stock gelangen kann.

Ich habe mich für diese Vorgehensweise entschieden, da die Kinder das Format Mal-Plus-Haus erst in dieser Stunde kennenlernen, auch wenn sie aus den vorherigen Stunden das Format des Plus-Hauses kennen. Sie sollen sich in dieser Stunde zunächst mit dem Aufbau vertraut machen und diesen verinnerlichen, ehe der nächste Schritt in Richtung Distributivgesetz eingeschlagen werden kann. Wenn sie den Aufbau verinnerlicht und erkannt haben, dass die mittlere Zahl aus dem Erdgeschoss in den beiden Zahlen aus dem ersten Stock steckt, kann in der nächsten Stunde mit Entdeckungen bezüglich des Distributivgesetzes begonnen werden.

Aus der vorherigen Sequenz ist den Kindern bekannt, dass die beiden Zahlen aus dem ersten Stock addiert und ihre Summe in das Dachgeschoss geschrieben wird. Für den Einstieg bedeutet dies, dass mit den Kindern zunächst geklärt werden muss, wie die beiden Zahlen aus dem ersten Stock zu Stande kommen können. Bei dem Format Plus-Haus waren diese vorgegeben. Daher muss zunächst thematisiert werden, dass in dieser Stunde drei Zahlen im Erdgeschoss stehen und diese miteinander multipliziert werden. Da die Kinder das Vorgehen bei der Summe im Dachgeschoss bereits kennen, muss dies nicht weiter erläutert werden. Der ausführlich besprochene Einstieg soll die Voraussetzungen für die Arbeitsphase schaffen. Die Arbeitsphase wird zunächst in Einzelarbeit stattfinden. Sollten sich jedoch Kinder nach einer gewissen Zeit bereits leise mit ihrem Nachbarn austauschen wollen, werde ich dies zulassen, sofern dies den Lernprozess der entsprechenden Kinder unterstützt und sie andere nicht stören. Der Partneraustausch dient einer ersten Verbalisierung der Entdeckungen und somit vor allem der Kommunikation, welche hier eine Vorbereitung auf die Reflexion darstellt. Die Kinder können voneinander lernen und profitieren. Weiterhin besteht so für jedes Kind die Möglichkeit, seine Entdeckungen mitzuteilen.

Die Klasse 2a besteht aus 21 Kindern (8 Mädchen / 13 Jungen). Die Klasse arbeitet in der Regel konzentriert im Mathematikunterricht mit. L., P., A. und H. müssen oft zur konzentrierten Weiterarbeit angehalten werden, da sie sich leicht von anderen Kindern ablenken lassen. Um ein ausdauerndes Arbeiten zu gewährleisten, werde ich eines der Kinder evtl. an einem Einzelplatz arbeiten lassen.

In Besprechungsphasen bzgl. gemachter Entdeckungen beteiligen sich die Kinder voller Eifer. Einigen Kindern wie J. oder L.-M. gelingt es schon sehr gut, ihre gemachten Entdeckungen zu verbalisieren. P. fällt es in Unterrichtsgesprächen nicht immer leicht, sich an vereinbarte Gesprächsregeln zu halten.

Hinsichtlich ihrer mathematischen Fähigkeiten ist die Klasse sehr heterogen. P., L. und L.- M., J., P. und L. sind sehr leistungsstark. A., A., S., L., P. und A. benötigen oftmals noch die zusätzliche Unterstützung der Lehrerin.

Literatur

Krauthausen, G.; Scherer, P.: Was macht ein Übungsbeispiel produktiv. In: Praxis Grundschule 2006, Heft 1. Braunschweig: Westermann, S. 4-5 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen: Lehrplan Mathematik. 1. Auflage 2008 (elektronische Version) Verboom, Lilo: Aufgabenformate zum multiplikativen Rechnen. In. Praxis Grundschule 2006, Heft 2. Braunschweig: Westermann, S. 14 - 20 Wittmann, E.; Müller, G.: Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 1. Vom Einspluseins zum Einmaleins. Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 2008

Tabellarischer Verlauf:

Phase	Inhalt/ Handlungsschritte	a) Phasenziel b) Did.-meth. Kommentar c) Material, Medien/ Sozialform
Einstieg	LAA begrüßt die Kinder und gibt einen Überblick über den Verlauf der heutigen Stunde. Anschließend kommen die Kinder in den Kinositz.	a) Transparenz b) Durch die Verlaufstransparenz und den gemeinsamen Unterrichtseinstieg werden die Kinder auf die Stunde eingestimmt c) frontal
Hinführung	LAA zeigt den Kindern an der Tafel zunächst das ihnen aus den vorherigen Sequenzen bekannte Plus-Haus und bespricht noch einmal kurz wiederholend den Aufbau des Hauses. Danach zeigt LAA den Kindern ein Mal-Plus-Haus und weist darauf hin, dass dieses Haus einen besonderen Namen hat. Dieser wird aber noch nicht verraten, denn die Kinder sollen im Verlauf der Stunde den Namen selbst herausfinden. LAA setzt vor den Augen der Kinder drei Zahlen in das Erdgeschoss ein und fordert sie auf, in Anlehnung an die bekannten Plus-Häuser Vermutungen über die fehlenden Zahlen in den leeren Feldern des Mal-Plus-Hauses anzustellen. Analog zu den geäußerten Vermutungen setzen die Kinder nacheinander die drei errechneten Zahlen in die entsprechenden Stockwerke ein. Nach der Klärung des Aufbaus teilt LAA den Kindern mit, dass sie heute eigene Mal-Plus-Häuser bilden und daran forschen sollen. LAA stellt den Arbeits- und Reflexionsauftrag, Mal-Plus-Häuser zu vervollständigen Lösungsstrategien entwickeln, um bei zwei vorgegebenen Zahlen im Erdgeschoss und einer Zahl im ersten Stock die fehlende Zahl im Erdgeschoss zu berechnen Beziehungen zwischen der mittleren Zahl im Erdgeschoss und den beiden Zahlen im ersten Stock entdecken	a) Die Kinder sollen den Aufbau des Mal-Plus-Hauses nachvollziehen und die errechneten Zahlen in die entsprechenden leeren Felder einsetzen. b) Die Kinder werden durch die Problemstellung herausgefordert und zum Entdecken angeregt. Sie sollen Vermutungen äußern, die sie durch die handelnde Auseinandersetzung überprüfen sollen. Das gemeinsam erarbeitete Beispiel dient der Veranschaulichung. Die Erarbeitung erfolgt im Kinositz, um allen Kindern eine gute Sicht zu gewähren und ein schnelles Einsetzen der Zahlen zu gewährleisten. c) Kinositz; Plus-Haus / Mal-Plus-Haus an der Tafel, Zahlenkarten
Arbeitsphase	Die Kinder arbeiten selbstständig nach eigenem Tempo und Fähigkeit in Einzelarbeit an den Mal-Plus-Häusern. Dazu bearbeiten sie differenzierte Aufgabenstellungen. Dabei kontrollieren die Kinder ihre Ergebnisse selbstständig. LAA unterstützt sie ggf. Sollten einige Kinder den Arbeitsauftrag schnell erledigt haben, erhalten die leistungsstarken Kinder zusätzliche Aufgaben, während die leistungsschwächeren die Aufgaben der leistungsstarken Kinder ausprobieren können.	a) Die Kinder sollen die Mal-Plus-Häuser ausfüllen und dabei die im Arbeitsauftrag erwähnten Beziehungen erforschen. b) Über die Einzelarbeit wird sichergestellt, dass jedes Kind seinen eigenen Zugang findet. Die Arbeitsphase ermöglicht zudem ein differenziertes Arbeiten. c) Einzelarbeit; ABs, Federmappe, rote Mappe, Lösungen
Reflexion	Zunächst stellen die Kinder Vermutungen über den Namen des Mal-Plus-Hauses an. Der Name „Mal-Plus-Haus" wird eingeführt und besprochen. Die Kinder versprachlichen ihre Entdeckungen und überprüfen gemeinsam, ob diese Beobachtungen immer gelten. Zur Veranschaulichung dient ein neues Mal-Plus-Haus an der Tafel, an dem sich die gewonnenen Erkenntnisse überprüfen lassen.	a) Die Kinder sollen ihre Beobachtungen und Erkenntnisse versprachlichen und nachvollziehen. b) Durch den Austausch über die gemachten Entdeckungen werden Erkenntnisse gesichert und vertieft. Eventuell können einige Kinder auch schon Begründungen für ihre Entdeckungen liefern. c) frontal; Mal-Plus-Haus an der Tafel
Ausblick	LAA beendet die Stunde und gibt den Ausblick, die von den Kindern gemachten Entdeckungen in der nächsten Stunde genauer zu untersuchen und zu begründen.	a) Der Ausblick bietet den Kindern eine Transparenz über das weitere Vorgehen.

[1] {#_ftnref1} Krauthausen, Scherer, 2006, S, 4

[2] {#_ftnref2} Lehrplan, S. 61f

[3] {#_ftnref3} vgl. Verboom, 2006, S. 14

[4] {#_ftnref4} vgl. ebd. S. 15