Herleitung der Formel für den Kreisumfang

Herleitung der Formel für den Kreisumfang

1. Teilziele

Die Schülerinnen und Schüler sollen experimentell π bestimmen und

die Merkmale des Kreises erkennen und einzeichnen können. beim praktischen Teil mit dem Partner oder der Partnerin Messdaten erstellen und ordnen können. ihre erarbeiteten Ergebnisse präsentieren können. erkennen können, dass zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises ein Zusammenhang besteht. die Berechnungsformel U= 2∙r∙π = π∙d herleiten.

2. Gliederung der Unterrichtsreihe

Unterrichtssequenzen	Unterrichtsthema
1. Sequenz	Die Herleitung der Formel für den Kreisumfang
2./3. Sequenz	Der Kreisumfang in Anwendungsaufgaben
3./4. Sequenz	Die Herleitung der Formel für die Kreisfläche
5./6 Sequenz	Die Kreisfläche in Anwendungsaufgaben
7/8 Sequenz	Berechnung von Kreisteilen Kreisausschnitt (Sektor), Kreisabschnitt (Segment)
9/10 Sequenz	Anwendungsaufgaben zu Kreisteilen

 

3. Bedingungsfeld

Merkmal	Beschreibung	Konsequenz
Struktur der Lerngruppe
Das Fach im Stundenplan		.
Lehrertätigkeit	Die LAA hat die Lerngruppe einige Stunden unter Anleitung unterrichtet.	Die SuS kennen die LAA und haben eine gute Zusammenarbeit mit ihr entwickelt.
Klassenklima/ Verhältnis Schüler-Schüler	Das Klassenklima innerhalb der Gruppe ist gut.   Einige Schüler haben einen enormen Aufmerksamkeitsdrang   Andere SuS sind stark zurückhaltend	Partnerarbeit ist möglich.     Nach der Messung von Gegenständen muss eventuell dem einen oder anderen die Gegenstände weggenommen werden.   SuS werden besonders in die Präsentation und die Partnerarbeitsphase miteinbezogen.
Sozialform	Die Sozialform der Partnerarbeit ist den SuS bekannt.         SuS- Präsentation	PA ermöglicht hier einen direkten Start in die Arbeitsphase und gibt hier die Möglichkeit eines intensiven und persönlichen Austausches.   Die Präsentation im Plenum fordert eine vorhergehende verantwortungsvolle Bearbeitung des Arbeitsauftrags in der PA-Phase. Die Präsentation ermöglicht die Wertschätzung der SuS- Arbeit.

4. Didaktische Überlegungen

4.1 Legitimation

Am Ende der zehnten Jahrgangstufe sollen die SuS in der Lage sein, Körper zu benennen, diese zu charakterisieren und sie in ihrer Umwelt zu identifizieren. Um beispielsweise den Zylinders als Körper zu charakterisieren ist es bedeutsam zunächst Umfang und Flächeninhalt vom Kreis schätzen und bestimmen zu können.

Das Verbalisieren mathematischer Zusammenhänge, Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren mit geeigneten Fachbegriffen findet auch hier statt. Die Schüler wiederholen Fachbegriffe wie Radius und Durchmesser anhand des Hula- Hoops.

Beim Modellieren wird eine Realsituation in die Mathematik überführt. Dies geschieht hier mit dem Hula- Hoop, der als Kreis identifiziert wird.

Auch das Kommunizieren und Argumentieren wird geübt.

Das Kommunizieren geschieht in der Partnerarbeit, indem die SuS z.B. unterschiedliche Herangehensweisen des Messens anwenden. Sie Argumentieren über Vor- und Nachteile einzelner Herangehensweisen des Messens und lernen zunächst in der Kleingruppe und später auch im Klassenverband eigene Herangehensweisen zu überprüfen und zu korrigieren.

SuS wenden auch Problemlösungsstrategien an, z.B. beim Entscheiden von Messwerten durch ermitteln des Mittelwertes.

4.2 Sachanalyse

Unter einem Kreis versteht man den geometrischen Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand r haben. Dabei heißt der M Mittelpunkt oder Zentrum und r der Radius des Kreises. Jede Strecke, die den Mittelpunkt M mit einem Punkt auf dem Kreis verbindet, wird ebenfalls als Radius bezeichnet. Durchmesser nennt man diejenigen Strecken, die zwei Kreispunkte verbinden und durch den Mittelpunkt verlaufen. Für die Längen dieser Strecken verwendet man auch die Bezeichnung Durchmesser. Es gilt d= 2r, wenn man Durchmesser und Radius als Längen betrachtet. Daher bezeichnet man manchmal den Radius auch als Halbmesser. (Schülerduden 2008)

Aus dem Verhältnis zwischen dem Kreisumfang und dem Durchmesser ergibt sich die transzendente Zahl π (pi). Beschäftigt man sich mit der Kreiszahl π, so wird man dabei unweigerlich auch auf den Namen Archimedes stoßen. Doch schon lange vor Archimedes kannte man die Zahl π.

In Babylon rechnete man um 3500 vor Christus mit π = 3, später (ca. 200 vor Christus) mit π = 3,125.

Der erste Mathematiker, der π immerhin schon auf 35 Stellen genau berechnete, war Ludolf van Ceulen (1540 - 1610).

1946 kannte man bereits 2040 Stellen von π  1958 konnten schon 10.000 Stellen erfasst werden. Ein Jahr später waren es 16.167 Stellen, 1961 schließlich schon 100.265 Stellen. Bis 1989 wurden 480 Millionen Stellen ermittelt.

Archimedes (287 - 212 v. Chr.) ging durch die Bestimmung von π in die Geschichte ein. Es gelang ihm nicht, ein einfaches Ergebnis für den Flächeninhalt des Kreises zu finden. Da der Flächeninhalt mit A = π r² bestimmt wird, hätte er die Zahl π berechnen müssen. Um π in Grenzen einzuschließen, wendete er wiederholt den Satz von Pythagoras an, um den Flächeninhalt eines ein- und umbeschriebenen 96-ecks um einen Kreis zu erhalten und gab dafür schließlich Näherungswerte an.

Je größer nun die Anzahl der Seiten der Vielecke ist, desto genauer lässt sich schließlich π bestimmen.

Da eine so exakte Berechnung oft nicht nötig ist, reicht es meist aus, einen Näherungswert für π zu wählen, wie z.B. π = 3,14 auf zwei Stellen genau oder π = 3,1416 auf vier Stellen genau. (Bertelsmann Lexikon 2000, CD Rom)

4.3 Didaktische Reduktion

Um die Annäherung des Archimedes mit Hilfe des Pythagoras durchzuführen ist in dieser Klasse nicht möglich, da der Satz des Pythagoras noch nicht behandelt wurde. Ich halte es für wichtig, das die SuS mit dem, was sie können arbeiten können.

Sie sollen die Gegenstände messen, die Ergebnisse vergleichen und diskutieren. Im Anschluss stelle ich die Kreiszahl π vor und die SuS leiten aus dem, was sie kennen und bis dahin erkannt haben die Formel des Kreisumfangs her.

5. Verlaufsplan

Phase/ Zeit	Geplanter Unterrichtsverlauf/-inhalt	Sozialform/ Medien	Didaktischer Kommentar
Einstieg ca.10min 11.40- 11.50	Vorstellung der Gäste Stummer Impuls: Hula Hoop zeigen o Übertragung des Gegenstands in die Mathematik o SoS zeichnet den Kreis und benennt die bekannten Begriffe(Mittelpunkt, Radius, Durchmesser) Sammlung weiterer interessanter Aspekte / Eigenschaften des Kreises und entwickeln das Thema der Partnerarbeitsphase „Ausmessen von Durchmesser / Radius und Umfang verschiedener kreisförmiger Gegenstände"	UG       Tafel	- Begriffe: Mittelpunkt, Durchmesser, Radius kennen die SuS aus der 6.Klasse - Wiederholung zum Aktivieren des Vorwissens. - SuS sollen alle dieselbe Ausgangsbasis haben.   - SuS nennen hier Umfang und Flächeninhalt
Erarbeitungsphase I ca.10-15min 11.50- 12.05	LAA stellt den Verlauf der PA-Phase vor und verteilt die notwendigen Materialien   Je fünf Paare erhalten dieselben Gegenstände (2). - Ein SoS trägt die Ergebnisse aller Gruppen auf einer Folie ein. - Die SuS bemerken die Messunterschiede und wählen einen Wert (z.B. Mittelwert) für die weitere Bearbeitung (à Eintrag der Werte in die Tabelle auf dem AB1).	PA, UG Gegenstände und AB1         OHP, Folie	- LAA verteilt das Material damit keine große Unruhe entsteht.   - Die 5-fache Ausführung ermöglicht eine spätere Kontrolle der Messungen der SuS untereinander.   - Die SuS übernehme an dieser Stelle die Verantwortung für ihre Arbeitsergebnisse. - Sie kontrollieren ihre Arbeitsweise / -ergebnisse direkt durch den Vergleich der Zahlenwerte auf der Folie.
Erarbeitungsphase II ca.10- 15min 12.00- 12.10	SuS analysieren die erzielten Werte und stellen einen Zusammenhang zwischen U und d des Kreises her. Dieser Zusammenhang wird rechnerisch überprüft. (à Eintrag in die Tabelle auf dem AB / Mittelwertbildung zur Ermittlung von ). SuS stellen die Formel U = π∙d auf.	UG Tafel   EA     UG, Tafel AB1	- SuS finden den Zusammenhang zwischen U und D selbstständig und überprüfen diesen.   - Sie abstrahieren ihre Überlegungen und entwickeln die Formel U = π∙d. Dabei muss die LAA die Kreiszahl  vorstellen.
Schlussphase ca.5min 12.20- 12.25	SuS bearbeiten die ersten Aufgaben vom AB2. Restliche Aufgaben werden in als Hausaufgabe aufgegeben. Alternative: AB2 wird als Hausaufgabe gegeben.	AB2	Sicherung/ Anwendung der neu gewonnenen Erkenntnisse.

6. Literatur

- Böer H., Kietzmann U. u.a.(2006). Mathe live, Erweiterungskurs 9,Klett Verlag

- Das grosse Bertelsmann Lexikon 2000. CD- ROM für Windows 95/98/ NT4.0. Discovery 2000 - Das grosse Universallexikon.

- Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein- Westfalen, Kernlehrplan für die Sekundarstufe I der Gesamtschule in Nordrhein- Westfalen, Mathematik, Frechen, 2004

- Schülerduden Mathematik I, Das Fachlexikon von A- Z für die 5.- 10. Klasse, Bibliographisches Institut& F.A. Brockhaus AG, Mannheim 2008