Längen und Messen

Erste Schritte im Zauberwald

Lernziel der Stunde: Die Kinder können ihrem individuellen Leistungsniveau

entsprechend in angemessenen konkreten Handlungssituationen

Objekte zunächst durch direktes (und gegebenenfalls

indirektes) Vergleichen ordnen und klassifizieren,

haben ein Verständnis von Größenrelationen und können

die Begriffe „größer, kleiner, höher, niedriger als.." sowie

„gleich groß, gleich hoch wie..." zutreffend verwenden.

1 Beschreibung der Lerngruppe

1.1 Sozial- und Arbeitsverhalten

Die SuS sind im Unterricht meist motiviert und interessiert. Für neue Themen sind sie leicht zu begeistern,
setzen sich mit ihnen auseinander, bringen eigene Gedanken, Fragen und Themen aus ihrer
Umwelt ein und arbeiten meist aufmerksam und engagiert mit. Auch wenn es oft lebhaft und
unruhig zugeht, herrscht im Allgemeinen doch eine angenehme und konzentrierte Arbeitsatmosphäre.
Obwohl Persönlichkeit, Sozial- und Arbeitsverhalten, Leistungsniveau und Interessen stark
variieren, gehen die SuS in der Regel freundlich, hilfsbereit und wertschätzend miteinander um,
achten einander, helfen sich gegenseitig und geraten nur selten in Streit. Kleinere Konflikte können
sie oft schon alleine lösen. Allerdings gibt es auch SuS, die desöfteren an die gemeinsamen Regeln
erinnert und zu deren Einhaltung aufgefordert werden müssen.
In Unterrichtsgesprächen hält sich der Großteil der Klasse an vereinbarte Gesprächsregeln. Einige
Kinder sind jedoch zu ungeduldig und versuchen dann die Aufmerksamkeit auf sich zu ziehen.
Durch Blickkontakt, ein Stille-Zeichen oder einen Hinweis auf die Gesprächsregeln werden sie zumeist
auf ihr Verhalten aufmerksam und beteiligen sich wieder am Klassengespräch. Andere SuS
müssen bei Gesprächen besonders aktiviert werden, da sie sich von alleine kaum beteiligen.
Meistens arbeiten die SuS in Einzel- oder Partnerarbeit. Sie kennen jedoch - insbesondere am
Stundenanfang - auch den Sitz- oder Stuhlkreis, einige Kinder können sich hier allerdings nicht zu
lange konzentrieren, sie werden nach einiger Zeit unruhig oder beschäftigen sich mit anderen Dingen.
Zu Phasenwechseln wird in der 2a ein Klangsignal verwendet, an das die SuS gewöhnt sind
und auf das sie zunehmend richtig reagieren.

1.2 Lernverhalten einzelner Schülerinnen und Schüler

Das Arbeitsverhalten der SuS ist sehr unterschiedlich (vgl. hierzu auch 6.3 im Anhang). Einige Kinder
beginnen direkt zu arbeiten und sind konzentriert mit ihren Aufgaben beschäftigt, arbeiten
selbstständig und fragen zuerst andere Kinder, wenn sie ein Problem haben. Andere SuS arbeiten
zwar ebenfalls selbstständig, konzentriert, sorgfältig und größtenteils fehlerfrei, lassen sich aber
leicht durch andere Kinder ablenken. Es gibt außerdem SuS, die oft noch aktiviert und motiviert
oder ermahnt werden müssen, damit sie während der Arbeitsphase konzentriert arbeiten. Sie
kommen aber auch zu vielen richtigen Ergebnissen. Einer letzten Gruppe fällt ein selbstständiges
Arbeit noch deutlich schwerer, weswegen ihnen die Aufgabenstellungen oft noch erläutert werden
müssen. Sie beginnen ohne Aufforderung oft nicht von alleine zu arbeiten und suchen bei Fragen
meist die Hilfe der Lehrkraft.

1.3 Lernausgangslage zur Unterrichtsstunde

Die SuS bringen bereits viele vor- und außerschulische Erfahrungen zum Thema „Längen" mit und
haben auch schon einige (wenn auch konfuse) Vorstellungen vom Begriff der Längen und deren
Messbarkeit.1 Sie wissen bereits, dass Entfernungen messbar sind und kennen auch schon Messgeräte
wie das Lineal (viele Kinder haben ein 15 cm-Lineal im Mäppchen) oder das Maßband, haben
jedoch noch keine klaren Größenvorstellungen. Letzte Woche fanden an der Schule Bundesjugendspiele
statt, bei denen die Kinder sehr interessiert daran waren, wer am weitesten werfen
und springen konnte und wo sie auch die Messvorgänge und die dafür notwendigen Messgeräte
im Einsatz sehen und sich ein (eigenes) Bild von deren Funktion machen konnten.

2 Sachanalytische Überlegungen

Längen (wie auch Zeitspannen, Geldwerte, Gewichte, Flächen- und Rauminhalte) zählen zum mathematische
Bereich der Größen und sind definiert als „räumliche Ausdehnung in einer Richtung"2.
Um Relationen von Repräsentanten einer Größe (hier: Längen von Objekten) ermitteln zu können,
müssen diese miteinander verglichen werden. Das direkte (unmittelbare) Vergleichen durch Aneinanderlegen
ermöglicht eine Klassifikation von Längen („ist genauso lang wie"), ist aber nur bei
kleineren beweglichen Objekten möglich. Das indirekte (mittelbare) Vergleichen mithilfe eines
Vergleichsobjektes (z.B. Faden oder Körpermaße) macht ein hierarchisches Strukturieren von Längen
möglich („ist länger/kürzer als")3, wobei das Vergleichsobjekt als Maßeinheit fungiert4 - es
können entweder mehrere Vergleichsobjekte der gleichen Länge aneinander oder dasselbe mehrfach
hintereinander gelegt werden. Um jedoch exakte Aussagen über die Relationen von Repräsentanten
oder die Länge eines einzigen treffen zu können bedarf es als Vergleichsobjekt eines
skalierten Messgeräts mit vordefinierten Maßeinheiten.
Eine Größe ist das Produkt aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit (z.B. 3 · 1 m = 3 m).5 Es können
demnach nicht nur Abtragungen der Länge eines Vergleichsobjektes, sondern auch die Abtragungen
einer Einheit wiederholt genutzt werden. Gleichzeitig kann die Einheit aber auch „systematisch
untergliedert werden, wenn keine Maßzahl aus den natürlichen Zahlen das zu Messende
völlig erfassen kann"6. Deshalb ist es mit einem Messinstrument auch möglich Längen zu vergleichen,
die kürzer oder länger sind als das Messinstrument (so ist ein Meter untergliedert in 100
Zentimeter, d.h. 1 cm entspricht 1/100 m). Bei genormten Längeneinheiten ist es außerdem mög-
lich die Länge von Objekten zu vergleichen, wenn es mehrere Messende mit unterschiedlichen
Messinstrumenten gibt oder die Messungen zeitlich weit auseinander liegen.
Maßeinheiten können entweder willkürliche Bezugsgrößen sein (wie die Länge eines bestimmten
Gegenstandes) oder alte nicht-standardisierte Maße (wie Elle oder Spanne). 1875 einigte man
sich jedoch in der internationalen Meterkonvention (an der 17 Staaten, darunter auch das Deutsche
Reich, teilnahmen) auf den Meter (m) als Einheitsmaß für Längen.

3 Didaktische Überlegungen

Längen sind als Repräsentant für den Bereich Größen besonders geeignet, da sie meist früher als
Geld, Zeit oder Gewicht im Leben von Kindern eine Rolle spielen und im Gegensatz zu anderen
Größen direkt wahrnehmbar sind.7 Für Kinder ist es wichtig, dass sie realistische Vorstellungen von
Größenrelationen haben, um sich in ihrer physikalischen Umwelt orientieren zu können. Damit sie
Größen sicher zuordnen, einschätzen und verwenden können, müssen sie vielfältige Erfahrungen
in authentischen lebensnahen Sachsituationen machen, um so ihre Lebenswelt mithilfe der Mathematik
erschließen und ihre Gesetzmäßigkeiten reflektieren zu können8 (nicht zuletzt werden
hier die Grundlagen für ein erfolgreiches Arbeiten im Mathematikunterricht gelegt, für den das
Verständnis von Zahlen als Maßzahlen immer wieder relevant sein wird). Dafür ist es notwendig
ihnen schülerbezogene, sinnstiftende und bedeutsame Lernanlässe zu bieten, die von konkreten
Handlungen ausgehen und es ermöglichen Phänomene an konkreten Situationen selbstständig zu
erfahren. Denn nur so können die SuS durch selbstständiges Handeln an ihren eigenen (Vor-)Erfahrungen
anknüpfen und neue Erkenntnisse systematisch damit verbinden.9 Neues Wissen wird bewusst,
selbstgesteuert und reflektiert angewendet erworben, angewendet und auf den neuen
Lerngegenstand übertragen.10
Laut den Bildungsstandards für den Mathematikunterricht besitzen die Kinder am Ende der
Grundschulzeit Größenvorstellungen (sie können Größen vergleichen, messen und schätzen und
kennen alltagsrelevante Repräsentanten für Standardeinheiten) und können mit Größen in Sachsituationen
umgehen (sie können sachgerecht messen, Bezugsgrößen heranziehen und Sachaufgaben
mit Größen lösen).11
Um diese Kompetenzen zu erreichen, muss eine Gliederung des Gegenstandsbereichs Längen
vorgenommen werden, damit die Vorstellungen der Kinder und die Abfolge des Erwerbs von Grö-
ßenvorstellungen korrekt strukturiert sind. Da ich die besonderen Lernchancen im Umgang mit
Größen in der dem Gegenstand inhärenten Struktur sehe, soll diese im Unterricht direkt aufgegriffen
und den SuS in ihrer notwendigen Abfolge angeboten werden. Ausgehend vom direkten Vergleichen
über das indirekte Vergleichen soll die Erkenntnis von der Notwendigkeit des Messens
etabliert werden. Erst im Anschluss können Schätzungen zu Längenmaßen vorgenommen werden,
da diese auf konkreten Längenvorstellungen beruhen müssen. Auch wenn Radatz et al. (1998)12
sowie zahlreiche Schulbücher die traditionelle didaktische Stufenfolge vorschlagen, laut der zuerst
mit körpereigenen Maßen gemessen und erst im Anschluss der Umgang mit Messgeräten erlernt
wird, möchte ich hier eher dem Ansatz von Wittmann/Müller (2000) und Walther et al. (2008) folgen.
Zwar erscheint der Ansatz von Radatz durchaus schlüssig, weil auf diese Weise auch heutige
Messskalen und -instrumente entwickelt wurden, aber ich halte es insbesondere für meine Lerngruppe
für sinnvoller das Messen mit Messgeräten zu beginnen, da diese den Kindern bereits aus
ihrer Umgebung bekannt sind und sie den Vorgang des Messens auch eher mit Messgeräten als
mit willkürlichen Maßeinheiten kennen. Außerdem dürfte ihnen zählendes Messen zwar bekannt
sein (z.B. durch Längenmessungen mit Schritte-Zählen), doch begegnen ihnen häufiger Messungen
durch Zahlablesungen (wie bei den Bundesjugendspielen oder bei der kinderärztlichen Körpergrößenmessung).
Ersterer Ansatz birgt desweiteren die Gefahr, dass sich Fehlvorstellungen bei den
Kindern erhärten, wie eine Deutung des Messens als Zählen, eine erschwerte Fokussierung auf Linearität
durch Vermessen von flächigen Objekten und falsche oder fehlende Einsichten in die Zusammenhänge
von Einheit und Untereinheit.13 Aus diesem Grunde sollen die Kinder im Anschluss
an direkte Vergleiche erste Erfahrungen mit skalierten Messungen machen und über die Verwendung
eines vereinfachten Messgeräts („Zauberstab" mit farblicher Einteilung) zur Einsicht in die
Normierung und Skalierbarkeit von Längeneinheiten gelangen und so auch ihr „eigenes" Messinstrument
entwickeln. Dies dient einerseits der Erkenntnis und andererseits der Motivation, weil
die SuS selbst tätig werden und handelnd erfahren können. Dabei orientiere ich mich an den Vorschlägen
des Rahmenplans, welcher, um das grundlegende Verständnis von und die notwendigen
Kenntnisse über Aufbau von und Umgang mit Längen bei den Kindern zu etablieren, den Umgang
mit notwendigen Begriffen durch direktes Vergleichen (länger, kürzer, größer, kleiner als... etc.),
die Entwicklung von Größenvorstellungen sowie die Einführung von genormten Maßeinheiten vorsieht.14

Neben den o.g. speziellen sowie allgemeinen mathematischen Fähigkeiten soll der Unterricht
auch Basiskompetenzen der SuS stärken - wie ein positives Selbstkonzept, Kommunikationsfähigkeit,
Sozialkompetenz und verantwortungsvolles Handeln.15 Dies geschieht bspw. durch Verbesserung
der Problemlösefähigkeiten der Kinder, weil so gleichzeitig emotionale, soziale und kognitive
Kompetenzen gestärkt werden.16
Um an der Lebenswelt und den Interessen der Kinder anzuknüpfen, sind die Aufgaben möglichst
auf Alltagsnähe ausgelegt. Sie werden außerdem nicht abgesondert, sondern eingebunden
in eine Geschichte angeboten (dabei ist zu bedenken, dass noch nicht alle SuS in gleichem Maße
sinnentnehmend lesen können, weswegen es einer vereinfachten Sprache und bildlicher Darstellungen
bedarf). Die darin vorkommenden Riesen, Zwerge und andere Fabelwesen, die jeweils auf
die Hilfe der SuS angewiesen sind, ermöglichen einen kindgerechten Zugang zum Thema und
gleichzeitig die Orientierung an alltäglichen Problemen, welche zur Lösung das Messen und Vergleichen
erfordern. Im Sachunterricht sind im Augenblick Dinosaurier das Thema, sodass auch die
Auseinandersetzung mit deren Größe (im Verhältnis zum Menschen) für die Kinder von besonderem
Interesse ist.
Weil beides im Unterricht noch nicht thematisiert wurde und mehrere Verständnisebenen voraussetzt
(„[d]er Prozess des Messens erfordert also grundsätzlich die Verbindung von Raum- und
Zahlvorstellungen mit der Idee von wiederholbaren, zerlegbaren und zählbaren Einheiten."17),
sehe ich besondere Schwierigkeiten in der Verwendung von Zahlen als Maßzahlen und dem Verständnis
von Skalen. Aus diesem Grunde sollen die verwendeten Maßzahlen nicht direkt angeboten,
sondern nach und nach eingeführt und in ihrer Bedeutung erläutert werden. Zunächst wird
daher eine zahlfreie Skala verwendet (vgl. „Zauberstab"), die später von den Kindern um die entsprechenden
Zahlen ergänzt werden muss. So werden die Zahlen auf dem Lineal nicht einfach nur
als Zahlen wahrgenommen, sondern in ihrer Funktion als Maßzahlen erkannt.
Damit jedes Kind nur Aufgaben bekommt, die seinem individuellen Leistungsniveau entsprechen,
wurden drei Differenzierungsstufen angelegt (zur Einteilung der Kinder siehe Anhang). So
bieten sich für alle SuS Erkenntnis- und Lernchancen und kein Kind wir über- oder unterfordert.
Die Abfolge der Aufgaben zum Vergleichen, Messen und Schätzen soll in der Einheit so angelegt
sein, dass die Kinder selbstständig zur nächsten Stufe kommen können. Zunächst werden sie direkte
Vergleiche anstellen müssen. Kinder, die schon Einsichten in das Prinzip des indirekten Vergleichens
mithilfe von Gegenständen mitbringen oder bereits schnell Entdeckungen dazu machen,
können die ersten Aufgaben mit diesen Kompetenzen leichter und schneller bearbeiten und früher
zu den Aufgaben kommen, bei denen sie messen müssen. So wird möglichst nahe am Vorwissen
der Kinder angeknüpft und gewährleistet, dass sie entsprechend ihren individuellen Möglichkeiten
schneller oder langsamer voranschreiten können. Für besonders Schnelle gibt es außerdem Zusatzmaterial,
an dem sie ihre Kenntnisse erproben, vertiefen und gegebenenfalls noch weiter ausbauen
können. Das Heft mit den Aufgaben ist so strukturiert, dass in jedem Abschnitt zunächst
Aufgaben zum handelnden Ausprobieren mithilfe von Gegenständen (enaktiv) gelöst werden,
dann Aufgaben zum Auseinandersetzen mit bildlichen Darstellungen (ikonisch) und zuletzt Sachaufgaben,
welche die erworbenen Kompetenzen erfordern und zu rein abstrakt-kognitiven Herangehensweisen
anregen (symbolisch). Die Aufgaben sollen nicht ausschließlich auf den Bereich des
Vergleichens oder Messens ausgelegt sein, sondern sowohl sachrechnerische Kompetenzen, handelnden
Umgang mit Material, Strategieentwicklung als auch den Umgang mit bereits gelernten
Rechenoperationen verbinden, wodurch sie an bereits erworbene Kompetenzen anknüpfen und
sie für neue Erfahrungen nutzbar machen. Da die Verbalisierung der vorgenommenen Handlungen
und gedanklichen Abläufe sowie deren Begründung von zentraler Bedeutung für das Verständnis
mathematischer Vorgänge und die Etablierung von Bearbeitungsstrategien für mathematische
Aufgaben ist,18 sollen auch Aufgabenstellungen verwendet werden, die eine sprachliche Auseinandersetzung
mit der Fragestellung fördern.
Da es sich um eine Einführungsstunde handelt, können natürlich noch nicht alle Aufgabenbereiche
der Einheit bearbeitet werden. Die Kinder werden aber erste Erfahrungen zum direkten und
gegebenenfalls auch indirekten Vergleichen machen und diese auch reflektieren.

4 Methodische Überlegungen (zur Unterrichtsstunde)

Um einen möglichst offenen Einstieg in das Thema Längen zu haben, wird als stummer Impuls an
der Tafel eine optische Täuschung (s. Anhang) angebracht, da so einerseits eine Aktivierung der
SuS angebahnt werden kann und andererseits die Aufmerksamkeit auf den Lerngegenstand und
nicht auf die Lehrkraft gerichtet ist. Der stille Impuls birgt zwar die Gefahr, dass die SuS nicht wissen,
was von ihnen erwartet wird, bietet aber dafür die Möglichkeit genauer am aktuellen Stand
der Lerngruppe anzuknüpfen, indem Äußerungen der Kinder aufgegriffen werden. Ich habe mich
bewusst gegen einen geschlossenen Sitzkreis und damit für den Sitzhalbkreis entschieden, damit
alle SuS die Tafel gut sehen können. Außerdem bleiben so die Stühle am Platz und die SuS können
im Anschluss schneller zu ihren Plätzen gelangen und sind nicht durch Stühletragen abgelenkt. An
der Tafel hängen Symbole für die Materialien, welche die Kinder benötigen (Schere, Kleber, Bleistift),
damit sie mit einem Blick zur Tafel sehen können, was sie zum Arbeiten brauchen.
Ich habe die Kinder bereits im Voraus in kompetenzorientierte Partnergruppen eingeteilt und
gebe zum Abschluss der ersten Phase jedem Kind ein Kärtchen, auf welchem ein farbiges Symbol
abgedruckt ist. Die Symbole entsprechen der Kompetenzstufe, die Farben dienen der Zuordnung.
So wird vermieden, dass die Kinder gleich sehen, warum sie zusammen arbeiten und dass es sich
um unterschiedlich schwierige Aufgaben handelt, wodurch einer eventuellen Diskriminierung Einzelner
aus dem Weg gegangen werden kann. Auf den Tischen kleben Kärtchen, welche dieselben
Zeichen enthalten. Die SuS suchen sich ihren Tisch und finden dort auch ihr Geschichtenheft. Das
birgt zwar die Gefahr einer kurzzeitigen Unruhe, ich sehe aber die Vorteile einer solchen Zuordnung
als durchaus vordergründiger an. Die Kinder sollen in festen Gruppen arbeiten, damit sie
einen Partner haben, an den sie sich während der ganzen Einheit halten können. Außerdem stärkt
das Zusammenarbeiten die sozialen Kompetenzen und Messen ist (bei größeren Maßen) zusammen
einfacher als allein.
Für die Methode eines Geschichtenheftes habe ich mich entschieden, weil so der Lerngegenstand
in einer für die Kinder interessanten Form zusammengefasst werden kann und die Aufgabenstellungen
nicht als reine Arbeitsaufträge, sondern in eine notwendige Handlung (als Hilfe für
die Fabelwesen) eingebettet werden kann. Außerdem ist so gewährleistet, dass die SuS nicht
durch die Klasse laufen müssen, weil sie neben den Aufgabenstellungen auch die meisten Arbeitsmaterialien
direkt im Heft finden. Zusätzlich benötigte Materialien liegen auf Tischen bereit, die
mit einem entsprechenden Symbol gekennzeichnet sind.
Gegen die Arbeit an Stationen- oder mit einem Wochenplan, spricht der Fakt, dass dann eine
größere Freiheit in der Auswahl der Aufgaben nötig wäre. Für diese freien Formen des Arbeitens
macht es wenig Sinn, eine feste Abfolge der Stationen zu fordern, weil dann oft alle SuS an einer
Station arbeiten müssen. Das Heft entspricht zwar in groben Zügen einem Wochenplan, es gibt
hier aber nicht die Möglichkeit der freien Wählbarkeit von Aufgaben, was durch die hierarchische
Staffelung der Aufgaben zwingend notwendig ist. Gleichzeitig bietet das Heft aber wie der Wochenplan
eine individuelle Differenzierung, Möglichkeiten zum Weiterarbeiten und auch eine Kontrollmöglichkeit
über den Lernfortschritt sowohl für die SuS als auch für mich.
Zum Abschluss der Arbeitsphase werden die SuS mithilfe eines Klangsignals in den Sitzhalbkreis
gebeten. Hier sollen sie kurz ihre Arbeit reflektieren. Dafür habe ich eine Zielscheibe vorbereitet (s.
Anhang), auf der jedes Team seine persönlichen Klebepunkte anbringen soll, die wieder farbig und
mit einem Symbol gekennzeichnet sind. So ergibt sich einerseits für die SuS eine gute Übersicht
über die Arbeit der anderen Kinder und andererseits kann ich im Nachhinein relativ genau nachvollziehen,
wo es Schwierigkeiten gegeben hat. Für die nächste Stunde wird dadurch deutlich, welche
Probleme und Unklarheiten im Plenum bearbeitet werden müssen und wo ich gegebenenfalls
im Einzelgespräch auf individuelle Schwierigkeiten Einzelner eingehen muss, während die anderen
arbeiten können. Die SuS sind durch diese Methode automatisch aufgefordert, sich mit dem Partner
auf eine Aussage zu einigen, da jedes Team nur einen Punkt für jedes Feld erhält. Zwar ist diese
Art der Reflexion weniger differenziert, als wenn einzelne Kinder befragt werden, doch ist der
zeitliche und partizipatorische Aspekt an dieser Stelle höher zu bewerten, da jedes Kind schnell
und einfach seine Rückmeldung geben kann. Desweiteren besteht die Möglichkeit im Anschluss
noch einzelne SuS um eine Begründung ihrer Wahl zu bitten.

5 Literaturverzeichnis

Berrenberg, U. (1992): Einführung in das Messen von Längen. Unterrichtsentwurf für das 2. Schuljahr.
In: Sachunterricht und Mathematik der Primarstufe. Köln, S. 411-415.
Der Brockhaus: In einen Band, 6., vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Leipzig 1994.
Franke, M. (2007): Didaktik der Geometrie in der Grundschule. Mathematik Primar- und Sekundarstufe.
2. Aufl., Heidelberg, Berlin: Spektrum, Akad. Verlag.
Hessisches Kultusministerium (Hrsg.)(1995): Rahmenplan Grundschule. Wiesbaden: Diesterweg
Verlag. (RP)
Hessisches Sozialministerium/Hessisches Kultusministerium (Hrsg.)(2007): Bildung von Anfang an.
Bildungs- und Erziehungsplan für Kinder von 0 bis 10 Jahren in Hessen. Stand: Dezember 2007.
Wiesbaden. (BEP)
Knoll, C. (1994): Wie lang, wie breit, wie hoch, wie tief? - Einführung in das Rechnen mit Längen,
Klasse 2. In: RAAbits Grundschule. Stuttgart: Raabe.
Kultusministerkonferenz (Hrsg.)(2005): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich
(Jahrgangsstufe 4) - Beschluss vom 15.10.2004. München: Luchterhand Verlag.
Radatz, H./Schipper, W./Ebeling, A./Dröge, R. (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht - 2.
Schuljahr. Hannover: Schroedel.
Walther, G./van de Heuvel-Panhuizen, M./Granzer, D./Köller, O. (Hrsg.)(2008): Bildungsstandards
für die Grundschule: Mathematik konkret. Aufgabenbeispiele - Unterrichtsanregungen - Fortbildungsideen.
Berlin: Cornelsen Verlag Scriptor.
Wittmann, E.C./Müller, G.N. (2000): Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd.1. Vom Einspluseins
zum Einmaleins. 2. überarb. Aufl., Stuttgart: Klett Verlag.
Die verwendeten Bilder stammen entweder von der Microsoft-Clipart-Gallerie (http://office.microsoft.
com/de-de/clipart/default.aspx) oder sind selbst gezeichnet.

Strukturskizze befindet sich in der pdf-Datei!

Fußnoten

1 Vgl. auch Walther et al. 2008: 95 f.
2 Der Brockhaus: 647
3 Vgl. Radatz et al. 1998: 189 f.
4 Vgl. Berrenberg 1992: 412
5 Vgl. Franke 2007: 244 f. sowie Knoll 1994: 2
6 Walther et al. 2008: 92
7 Vgl. Walther et al. 2008: 91
8 Vgl. BEP: 75
9 Vgl. hierzu RP: 160; BEP: 75 f.; Radatz et al. 1998: 169 f. sowie Walther et al. 2008: 104
10 Vgl. BEP: 41 ff.
11 Vgl. KMK 2005: 14
12 Vgl. Radatz et al. 1998: 170
13 Vgl. Wittmann/Müller 2000: 70 und vor allem Walther et al. 2008: 97 ff.
14 Vgl. RP: 157
15 Näheres hierzu ist im BEP unter Teil 2 nachzulesen.
16 Vgl. BEP: 92
17 Walther et al. 2008: 93
18 Vgl. BEP: 75