Volumen Drehzylinder

Volumen Drehzylinder

1 Lehrplanbezug

 

Unterrichtsziele und Unterrichtsinhalte

Geometrie

Die Schüler/innen sollen mit grundlegenden geometrischen Objekten und mit Bezeichnungen zwischen diesen Objekten vertraut werden. Ebenfalls sollen sie räumliches Vorstellungsvermögen entwickeln und Längen,- Flächen,- und Volumsberechnungen durchführen können. ( Vgl. Lehrplan Mathematik für Hauptschulen)

 

4. Klasse Hauptschule

4.1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen

4.2 Arbeiten mit Variablen

- Sicherheit beim Arbeiten mit Variablen, Termen, Formeln und Gleichungen steigern

4.3 Arbeiten mit Figuren und Körpern

- Formeln für die Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Drehzylinder und Drehkegel sowie für die Kugel erarbeiten und nutzen können.

2 Analyse der Sachstruktur

2.1 Auflistung fachbezogener, stoffbezogener Lernvoraussetzungen

Merkmale und Eigenschaften eines Zylinders kennen. Die Schüler/innen sollen wissen, was ein Zylinder ist. Die Schüler/innen sollten wissen , was das Volumen eines Körpers ist. Die allgemeine Formel für die Volumensberechnung V= G.h eines Prismas sollte bekannt sein. Die Schüler/innen müssen in die vorher genannte Formel einsetzen können. Sie sollten die Zahl p kennen und mit ihrem Umgang vertraut sein. Die Schüler/innen sollen die Fläche eines Kreises berechnen können. Die Schüler/innen sollen die Grundfläche und die Höhe eines Körpers erkennen. Die Schüler/innen sollen im Umgang mit Zirkel und Lineal geübt sein. Die Schüler/innen sollen Grundfertigkeiten am Taschenrechner beherrschen. Z.B. Wie tippt man p ein? Oder Wie tippt man eine Zahl zum Quadrat ein.

2.2 Zentrale Begriffe

Zylinder: Ein Zylinder ist von zwei parallelen, ebenen Flächen (Grund- und Deckfläche) und einer Mantelfläche, die von parallelen Geraden gebildet wird, begrenzt.

Die Oberfläche eines Drehzylinders wird wie folgt berechnet:

O(berfläche)= M(antel)+ 2. G(rundfläche)

Grundfläche = Fläche von Kreis = r2. p

M= Umfang von Kreis . Höhe

M= 2rp. h

O= 2rp. h + 2. r2. p => 2rp. ( h+ r)

 

Volumen: Das Volumen V ist der räumliche Inhalt eines mathematischen Körpers. Die SI- Einheit für das Volumen ist der Kubikmeter (m3).

 

Berechnung von Volumen:

- Würfel mit der Kantenlänge x : V : x.x.x = x 3

- Quader mit Kantenlänge x, y , z : V= x.y.z

- Drehzylinder mit Grundfläche G und Höhe h: V= G.h

 

Grundfläche: Bei zeichnerischen Darstellungen wird die Grundfläche immer als unten angesehen, also die Grundfläche ist die Fläche auf der der Körper steht. Bei einem Drehzylinder ist die Grundfläche ein Kreis ( hier grün) Kreis: Ein Kreis ist definiert als Menge aller Punkte deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M gleich ist. Der Abstand r wird als Radius des Kreises bezeichnet, der Punkt M als Mittelpunkt. Der doppelte Radius heißt Durchmesser d .

Kreisumfang: U= 2r. p oder d. p

Kreisfläche: A = p. r2

Höhe: Bei Drehzylindern ist die Höhe ein senkrechter Abstand von den beiden Grundflächen.

3 Lernzielen

3.1 Kognitive Ziele

Grobziel

- Schüler/innen wissen, wie man das Volumen eines Drehzylinders berechnet.

 

Feinziele

- Schüler/innen wissen, wie man eine Kreisfläche berechnet.

- Schüler/innen können den Zusammenhang zwischen Volumen, Höhe und Grundfläche beschreiben.

- Sie können die Volumsformel umformen um gefragte Größen ermitteln zu können.

- Schüler/innen kennen die Formel zur Berechnung des Volumens.

3.2 Affektive Lernziele

Grobziele

- Die Schüler/innen vertiefen bei der Partnerarbeit ihre Fähigkeit, mit dem Partner eine Aufgabe gemeinsam zu lösen.

- Die Schüler/innen verknüpfen Wissen aus der Lebensumwelt mit Mathematik und bekommen mehr Bezug zur Mathematik.

3.3 Psychomotorische Lernziele

Grobziele

- Die Schüler/innen erweitern ihr Fähigkeiten im Umgang mit Zirkel und Lineal indem sie einen Drehzylinder zeichnen.

- Die Schüler/innen kneten mit Plastilin einen Zylinder. Dadurch können sie einen Drehzylinder fühlen. Es wird ihnen dadurch eher im Gedächtnis bleiben.

Feinziele

- Die Schüler/innen wissen wie man mit Zirkel und Lineal einen Drehzylinder zeichnet und konstruiert.

- Sie können mit einem Maßband die Höhe und den Umfang eines Zylinders abmessen.

4 Schülergemäße Erschließung des Stoffes durch Darstellung geeigneter

4.1 Einstiegsvarianten

 

1. Möglichkeit

Jede/r Schüler/inn soll Gegenstände aus dem Alltag nennen, die eine zylindrische Form haben.

z.B. Longdrinkglas, Gurkenglas, Küchenrolle, Chapeau-Clap, Rohr, usw....

 

2. Möglichkeit

Der Lehrer nimmt verschieden zylindrische Gefäße mit. Manche Gefäße sollen eine Volumskennzeichnung (z.B. 0,25 l) haben, manche nicht.

Der Lehrer fragt die Schüler/innen, wie man nur wissen soll, wie viel in solch ein zylindrisches Gefäß passt?

 

3. Möglichkeit

Man kann bei diesem Einstieg einen kleinen facherübergreifenden Bezug zu Biologie herstellen. Man fragt die Kinder wie viel man ungefähr pro Tag trinken soll. Woher weiß man aber, dass man genug getrunken hat, wenn man ein zylindrisches Glas hat, das aber keine Volumsbezeichnung hat.

Viele Kinder werden schnell dahinter kommen, dass man sich ausrechnen muss, wie viel in solch ein Glas überhaupt hineinpasst.

4.2 Repräsentationsstufen nach Jerome Bruner

 

Nach Bruner gibt es drei Repräsentationsstufen, auf denen sich der Mensch die Umwelt erschließen kann.

 

1. die enaktive Darstellung: Ein Sachverhalt wird durch eigene Handlung erfasst.

2. die ikonische Darstellung: Der Sachverhalt wird durch Bilder und Grafiken erläutert.

3. die symbolische Darstellung: Der Sachverhalt wird verbalisiert oder durch das mathematische Zeichensystem erfasst.

Die enaktive Darstellung

1. Möglichkeit

Die Schüler/innen sollen in Zweiergruppen zusammen gehen. Jede Zweiergruppe bekommt in Gefäß und ein Küchenmaß. Nun soll jede Gruppe mit Wasser prüfen, ob in jedes Glas, das reinpasst was auch am Glas oben steht.

So sollen die Kinder auf das Volumen eines Zylinders hingeführt werden.

Da ja nicht jedes zylindrische Gefäß einen Volumsangabe besitz, muss man das Volumen irgendwie anders bestimmen können.

Es wird, bevor man zur Volumsformel des Zylinders kommt, die Volumsformel für den Quader wiederholt. Die Fomel dafür lautet V= a*b*c bzw. V= G*h.

Durch diese Wiederholung sollen die Kinder zur Volumsformel vom Drehzylinder hingeführt werden. Sie lautet ebenfalls V=G*h.

Grundfläche= Kreis

Fläche von Kreis = r2 p

Daraus folgt V = r2 p * h

In weiterer Folge bekommen die Kinder ein Gefäß ohne Markierung. Sie sollen Maße nehmen und das Volumen berechnen. Wenn sie es berechnet haben, sollen sie wieder mit einem Küchenmaß nachmessen ob sich richtig gerechnet habe. Hier müssten die Schüler/innen beachten, dass sie in cm3 rechnen, die Angaben am Maß aber in Liter sind. In der vierten Klasse müsste aber das Umrechnen schon beherrscht werden.

 

2. Möglichkeit

Der Lehrer nimmt eine „Plastilinwurst" ein Form eines Drehzylinders mit. Der Plastilinzylinder wird in 1 cm dicke Scheiben geschnitten. Zu zweit bekommen die Schüler/innen eine Scheibe. Sie sollen die Scheibe abmessen und sich daraus die Kreisfläche berechnen. Sie sollen auch abmessen wie hoch die Schiebe ist.

Die Kreisfläche und die Höhe ist bei jedem Schüler annähernd gleich.

Die Ergebnisse werden auf der Tafel notiert.

Bevor sich die Schüler/innen das Volumen der Scheibe berechnen, wird die allgemeine Formel für die Volumsbrechnung wiederholt. Also V= G*h.

Es wird gemeinsam besprochen, was bei der Scheibe die Grundfläche und die Höhe ist.

Die Höhe beträgt bei jeder Scheibe 1 cm. Die Schüler/innen sollen sich nun das Volumen der Scheibe ausrechnen.

Als nächsten Schritt sollen zwei Gruppen zusammen gehen und ihre Scheiben zusammensetzen und an den „Nähten" verkneten. Nun sollen sie wieder die Höhe bestimmen und sich das Volumen berechnen. Die Ergebnisse werden an der Tafel festgehalten.

Es sollen sich wieder zwei Gruppen zusammentun und wie vorher vorgehen. Der Vorgang wird sooft wiederholt, bis wieder ein ganzer Zylinder entstanden ist.

Die Kinder sollen nur Versuchen, selbst die Formel für die Berechnung des Volumens zu formulieren.

 

4.2.1 Die ikonische Darstellung

Jede/r Schüler/in soll mit Hilfe eines Zylindermodells versuchen einen Zylinder freihändig abzuzeichnen. Hat dies jeder geschafft, dann zeichnet die Lehrerin einen Zylinder mit Hilfe von Lineal und Zirkle auf die Tafel. Der Zylinder wird beschriftet.

Bei der ikonischen Ebene kann man auch Angaben geben und die Kinder sollen daraus eine Zeichnung mit den gegebenen Maßen anfertigen. Für schwächere Kinder, die motorische Schwierigkeiten haben beim Zeichnen, denen kann man ein Blatt zum Ausschneiden geben. Sie müssen, dann nur noch die Teile richtig zusammen kleben. Arbeitsblatt: siehe Anhang

4.2.2 Die symbolische Darstellung

Bei der symbolischen Ebene benötigen die Schüler/innen keine Modelle oder Abbildungen mehr. Es ist ihnen möglich, sich einen Zylinder gedanklich vorzustellen.

Bei der symbolischen Ebene ist es auch wichtig Umkehraufgaben zu stellen. Es ist z.B. der Radius und das Volumen gegeben. Wie hoch ist der Zylinder?

Mittlerweile müssen die Schüler/innen die Formel zur Volumenberechnung kennen. Sie sollten nun auch wissen, dass sich das Volumen immer mit der Formel V= G* h berechnen lässt. Sie sollten z.B. nun auch zusammengesetzte Figuren und deren Volumen berechnen können.

4.3 Medien und praktische Hilfsmittel

Gefäße ( mit und ohne Volumsangabe) Küchenmaß Wasser Plastilin Messer Lineal Zirkel Tafel Kreide

4.4 Lösungshilfen

Die Motivation der Schüler/innen wird schon dadurch angeregt, dass sie selbst etwas machen und handeln können.

Da die Kinder meist zu zweit arbeiten ist das auch eine Motivationshilfe.

Schon alleine, dass jedes Kind ein zylindrisches Gefäß hat, dass es anfassen kann, dient als Hilfe.

Bei der enaktiven Ebene dient vor allem das Kontrollieren mit dem Küchenmaß als Motivation und Lösungshilfe.

5 Übungsaufgaben

Einfache Beispiele: Sie erfordern nur das Einsetzen von Zahlen in eine Formel

 

1. Beispiel

Ein zylindrisches Gefäß hat folgende Maße:

a. r= 5 cm und h= 10 cm.

b. r= 7 cm und h= 8 cm

c. r= 3m und h = 7 m

d. r= 50 cm und h = 2,5 m

Wie groß ist das Volumen des Gefäßes?

 

2. Beispiel

Eine zylindrische Blumenvase fasst 250 cm3 . Der Radius beträgt 25 cm.

Wie hoch ist die Vase?

 

Schwierigere Beispiele: Hier muss man Zahlen, die man nicht vorgegeben hat, sondern durch abmessen oder schätzen erhält in eine Formel einsetzen.

 

1. Beispiel

Volumen „ Küchenrolle"

Material: Küchenrollen und Lineal

 

Miss mit deinem Lineal die Küchenrolle ab.

Bestimme dadurch die Höhe und die Radien der beiden Zylinder.

Berechne zuerst das Volumen der ganzen Küchenrolle. Berechne

nun das Volumen des Küchenpapiers

 

1. Beispiel

Der Jenatower ist 133 Meter hoch und sein Umfang beträgt 104 Meter.

Wie viel Volumen fasst der Tower?

Der Jenatower verfügt über 31 Stockwerke.

Wie viel Volumen fasst ca. ein Stockwerk?

 

Anspruchsvollere Beispiele: Hier geht es nicht mehr ums operieren, sonder um das Interpretieren und Verständnis der Volumsformel

 

1. Beispiel

Aufgabe: Wenn die Höhe h drei Mal so lang wird und der Radius r zwei Mal so lang, wie verändert sich dadurch das Volumen V?

0 Das Volumen V misst dann zwei Mal so viel.

0 Das Volumen V misst dann drei Mal so viel.

0 Das Volumen V misst dann vier Mal so viel.

0 Das Volumen V misst dann sechs Mal so viel

0 Das Volumen V misst dann neun Mal so viel.

0 Das Volumen V misst dann zwölf Mal so viel.

(Standards für die mathematischen Fähigkeitenösterreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe, Institut der Didaktik der Mathematik , Klagenfurt 2007)

 

2 . Beispiel

Eine zylinderförmige Regentonne ist 82 cm hoch und hat einen Durchmesser von 82 cm.

Sie ist zur Hälfte mit Regenwasser gefüllt.

Aufgabe: Was wird durch die Rechnung ermittelt?

 

Kreuze entsprechend an!

o Das Volumen der Regentonne

o Die Oberfläche der Regentonne

o Das Volumen des Regenwassers

o Die Mantelfläche der Regentonne

o Die Grundfläche der Regentonne

o Der Umfang der Grundfläche der Regentonne

(Standards für die mathematischen Fähigkeitenösterreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe, Institut der Didaktik der Mathematik , Klagenfurt 2007)

 

Literatur

o Skriptum : Mathematik Fachdidaktik Dr. Karin Busch

o Standards für die mathematischen Fähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe, Hrsg. Institut der Didaktik der Mathematik , Klagenfurt 2007)

 

Abbildungen

Abb. 1 http://ebmeierjochen.files.wordpress.com/2008/09/zylinder_der.jpg (1.12.2009) Abb. 2 http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie) ( 1.12.2009) Abb 3. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/projekt/wiki/images/Kreis10.png (1.12.2009) Abb. 4 http://www.barme-shop.de/images/product_images/info_images/Kuechenrolle_AS_68.jpg ( 1.12.2009) Abb. 5 http://www.corbisimages.com/images/42-15402236.jpg?size=67&uid=DA882A73-0C0A-44B6-811C-CAE1B5C76B11 (1.12.2009)