Innenwinkelsumme im Dreieck

Innenwinkelsumme im Dreieck (Mathematik)

1. Be­grün­dung der Un­terrichtseinheit

Das Thema: „Umgang mit Winkeln, Berechnung an räumlichen Körpern" des 6. Schuljahres ist im Lehrplan des Bildungsganges Realschule mit einem Stundenumfang von 36 Stunden angesetzt.[1] {#_ftn1} Begründet wird es wie folgt: „Mit der Vorstellung von Winkeln und dem Umgang mit Zeichengeräten muss wegen der Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens früh­zeitig begonnen werden. Die Drehung ist ein Vorgang, an dem die Winkelkonstruktion eine altersgemäße Anwendung fin­det."[2] {#_ftn2} Da diese Unterrichtseinheit geteilt ist, wird in dieser ersten Phase der Unterrichtsein­heit auf die Berechnung an räumlichen Körpern vorerst ver­zichtet und der Umgang mit Winkeln wird mit 18 Stunden angesetzt.

Die Inhalte dieses Themenbereichs bilden eine Grundlage für die Prozentrechnung (Kreisdia­gramme), für Flächenkonstruktionen und für die Trigonometrie. SuS können Kompetenzen in einem angemessenen Umgang mit Hilfswerkzeugen, wie dem Zirkel und dem Geodreieck erwerben und trainieren. Durch die alltägliche Gebräuchlichkeit des Begriffs Winkel erhält das Thema einen hohen Alltagsbezug. Winkel kommen im täglichen Leben in vielen Berei­chen vor, z. B. in der Natur (Drehsymmetrien, rechter Winkel), in der Kunst (Ästhetik), im Bau - Handwerk, in der Vermessungstechnik und in der Navigation. Die Fähigkeit, Winkelgrößen einschätzen zu können, wird vor allem bei Bewegungen benötigt (Verkehr, Sport, Ballistik usw.) Der Winkelsummensatz für Dreiecke ist dabei von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Geometrie. Er bildet die Grundlage für den Beweis der Winkelsummensätze für Vielecke. Bei der Behandlung der Kongruenzsätze wird er angewandt um die fehlenden Win­kelmaße zu bestimmen. Die Anwendungen des Winkelsummensatzes sind viel­fältig. Im All­tag findet er vor allem in der Architektur oder bei der Land- / Gebäudevermessung große Verwendung.

 

Stunde	Thema	Groblernziel
1	Geometrie und Kunst	SuS sollen mathematische Objekte in der Lebenswelt entdecken.
2,3	Kreis	SuS sollen den Kreis kennen lernen und Begriffe wie: Ra­dius, Mittelpunkt, Durchmes­ser und Umfang benutzen und verwenden können.
4,5	Winkel	Die SuS sollen Winkel defi­nieren, messen und zeichnen können. Darüber hinaus sol­len sie die verschiedenen Winkelarten kennen, benen­nen und beschreiben kön­nen.
6	Winkel	SuS stellen eine Winkel­scheibe her. Sie schätzen Winkel und festigen die Winkelbegriffe.
7,8	Dreiecke	SuS sollen die verschiedenen Dreiecksarten kennen und benennen und sie im Koordi­naten­system darstellen kön­nen.
9	Dreiecke	SuS sollen erkennen, dass die Innenwinkel­summe im Drei­eck 180° beträgt, dies begrün­den und feh­lende Winkel durch die An­wen­dung des Innenwinkel­sum­mensatzes bestim­men können.
10	Dreiecke: Übungsstunde	Die SuS sollen fehlende Winkel im Dreieck mit Hilfe des Innenwinkelsummensat­zes bestimmen.
11,12,13	Dreiecke	SuS sollen die verschiedenen Dreieckskonstruktionen be­herrschen und sie angemes­sen beschreiben können.
14	Vierecke	SuS sollen die Innenwinkel­summen im Vier- und n-Eck bestimmen und fehlende Winkel berechnen können.
15, 16	Haus der Vier­ecke	Die SuS sollen Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Vierecken kennen und sie im Ko­ordinatensystem darstel­len.
17,18	Bewegungen	Die SuS lernen die Bewe­gungen: Drehungen, Ver­schiebungen und Spiegelun­gen kennen, und sollen die Bewegungen anhand von Figuren durchführen können

 

Zu Beginn dieses Schuljahres wurden die Gewöhnlichen Brüche im Unterricht behandelt, hierzu wurden auch geometri­sche Figuren, wie bspw. Dreiecke, zur Veranschaulichung des Bruchbegriffs ver­wendet. Vor zwei Wochen wurde mit der Thematik der Geometrie in der Ebene begonnen. Am Anfang der Unterrichtseinheit haben die SuS Winkel, Winkelmaße so­wie die Begriffe Scheitelpunkt, Schenkel und Kreisbogen kennen gelernt. Anschließend wur­den die Winkelarten eingeführt und der Umgang mit ihnen geübt. Erste Übungen zum schät­zen und messen von Winkeln, wurden bereits anhand einer selbstgebastelten Winkelscheibe durchgeführt. Nach dem kennen Lernen der verschiedenen Dreiecksarten sollen sich die SuS den Innenwinkelsummensatz in Dreiecken selbsttätig erarbeiten und ihn schließlich begrün­den und anwenden können.

2. Sachanalyse

„Ein Dreieck ist eine Figur, die entsteht, wenn man drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte A, B, C (die Eckpunkte) durch Strecken (die Seiten) verbindet. Mit a, b, c werden die den Ecken A, B, C gegenüberliegenden Seiten bezeichnet, mit die Innenwinkel an den Ecken A, B, C."[3] {#_ftn3} Ein Winkel wird durch zwei Strahlen begrenzt, die vom selben Anfangs­punkt ausgehen. Somit existieren in einem Dreieck drei Winkel. Es gelten stets die Dreieck­sungleichungen und der Satz von der Winkelsumme:

Bei den Winkelarten unterscheidet man folgende: Nullwinkel (=0°), Spitzer Winkel (0°<<90°), rechter Winkel (= 90°), stumpfer Winkel (90°<<180°), gestreckter Winkel (=180°), überstumpfer Winkel (180°<<360°) und Vollwinkel (=360°). Bei den Dreiecksarten unterscheidet man zum Einen nach Winkeln und zum Anderen nach Seiten:

 

Abbildung[4] {#_ftn4}

 

„Um die Innenwinkelsumme im Dreieck zu bestimmen, zeichnet man zur Seite die Paral­lele durch den Punkt C. ´, und ´ bilden einen gestreckten Winkel. Es gilt: ´+´+ = 180°. und ´ sowie und ´ sind Wechselwinkel. Damit gilt: =´ sowie = ´. Somit erhält man = 180°." [5] {#_ftn5}

Abbildung[6] {#_ftn6}

3. Lernbedingungen

3.1 Spezielle Lernbedingungen

Die SuS lernten die verschiedenen Dreiecksarten mit ihren Ei­genschaften kennen und übten das Messen von Winkeln in Dreiecken. Dies dient der Grund­lage und ist Vorraussetzung für diese Stunde. Die SuS müssen ihre Fähigkeiten weiter aus­bauen und sich mit Hilfs­werkzeu­gen, wie Geodreieck oder Winkelmesser zu helfen wissen um die Winkelsumme im Dreieck bestimmen zu können.

4. Didaktisch-methodische Überlegungen

Das Thema „Die Innenwinkelsumme im Dreieck" eignet sich sehr gut für eine entdeckende Lernphase, in der die Eigentätigkeit der SuS gefördert wird und das Annsprechen mehrerer Sinne den Lernzuwachs der SuS positiv beeinflusst.

4.1 Didaktische Überlegung

Der Einstieg soll motivierend wirken, ggf. das Gruppengefühl stärken, oder ein Grup­penge­fühl entwickeln und schließlich der Wiederholung von Dreiecksarten und wichtiger Winkelbe­zeichnungen dienen.

Die Gruppenarbeit als Sozialform wurde aus mehreren Gründen gewählt. Während der Erar­beitungsphase in Gruppenarbeit können sich die SuS gegenseitig helfen, knüpfen und festigen soziale Kontakte. SuS können Aufga­ben übernehmen, die ihren Interessen besonders entgegenkommen. SuS können innerhalb der Gruppe ein höheres Maß an Selbstvertrauen entwickeln. Weil sie sozial eingebunden sind, trauen sie sich mehr zu und haben weniger Angst vor Fehlern. Die SuS arbeiten in ihren Gruppen eigenverantwortlich. Nach den Möglichkeiten Gruppen zu bilden, wurde das Helfer­system zur inneren Differenzierung gewählt. Die Leistungsstärkeren SuS einer Klasse üben zusammen mit schwächeren SuS und übernehmen dabei Lehreraufgaben. In der Gruppe ist die heterogene Zusammensetzung der Lern­gruppen ein Vorteil. Hier können die Leistungsstarken als Teamteacher argieren. Die Leis­tungsschwächeren erhalten Hilfen von Gleichaltrigen in einer Art und Weise, wie der Lehrer sie ihnen nicht bieten kann.[7] {#_ftn7}

Um den leistungsstärkeren SuS gerecht zu werden, wurde innerhalb der Gruppenarbeitsauf­träge eine Differenzierung berücksichtigt. Die ersten drei Aufgaben müssen von allen SuS bearbeitet werden. Die übrigen zwei Aufgaben bilden ein Zusatzangebot für „Schnelle", dass von den SuS nach individuellem Interesse bearbeitet werden kann.

 

Die SuS wurden in drei verschiedene Leistungsstufen unterteilt. Das Zeichen: ++ steht für die Leis­tungsstärksten der Gruppe, ein + steht für SuS, die dem MU stets zugewandt sind und die Lerninhalte verstehen. Das ~ steht für SuS die dem Unterrichtsgeschehen zwar folgen, aber oftmals etwas länger Zeit benötigen als andere Schüler. Nicht nur die Gruppenzusammensetzung, sondern auch die Sitzordnung wurde bewusst so gewählt. Durch die abwechselnde Sitzord­nung von +, ~, ++ usw. erhoffe ich mir innerhalb der Gruppen gegenseitige Unterstützung, die Entstehung von Diskussionen, und das Stellen und Klären von Fragen. (siehe Abb.)

Die Gruppe 1 arbeitet am rechtwinkligen Dreieck, Gruppe 2 am spitzwinkligen Dreieck, Gruppe 3 am stumpfwinkligen Dreieck, Gruppe 4 am gleichschenkligen Dreieck und Gruppe 5 am gleichseitigen Dreieck.

 

 

Durch das entdeckende Handeln können sich die SuS die erworbenen Kenntnisse besser verinnerlichen. Darüber hinaus spricht diese Vorgehensweise sowohl den visuellen, als auch den hapti­schen Lerntypen an und kann in Verbindung mit der Gruppenarbeit und der späteren Verbalisierung des Lernprozesses, auch auf auditiver Ebene Lernhilfen bieten.

 

Didaktisch reduziert wird der Inhalt, indem auf den Beweis des Winkelsummensatzes für Dreiecke verzichtet wird. Dieser ist Inhalt im 7. Schuljahr.

4.2 Methodische Überlegungen

Begrüßung und Einstieg

Nach der Begrüßung werden in einer Einstiegsrunde Begriffe und Dreiecksarten wiederholt. Dazu werden den SuS verschiedene Dreiecke mit dazugehörigen vorgegebenen Winkeln hochgehal­ten. Der Schüler der Gruppe, der die richtige Antwort genannt hat, bekommt für seine Gruppe einen Punkt gut geschrieben. Die Punkte werden an der Tafel notiert.

 

Hinführung zum Thema

Als letztes Dreieck des Einstiegs wird den SuS ein gleichseitiges Dreieck gezeigt. Herzu be­kommen die SuS zunächst keine Eigenschaft genannt. Nach gemeinsamer Erarbeitung und Wiederholung der Eigenschaften eines Gleichseitigen Dreiecks. Wird der Begriff der Innen­winkelsumme genannt und dessen Bedeutung mit den SuS gemeinsam erarbeitet. (Alle Win­kel gleich groß à Jeder Winkel 60° à Innenwinkel­summeà drei mal 60° = 180°).

Dies soll die weiterführende Fragestellung: „Wie verhält es sich mit der Innenwinkelsumme in anderen Dreiecken"? aufwerfen und die SuS zu Entdeckungen motivieren.

 

Erarbeitungsphase

Die Erarbeitungsphase gliedert sich in mehrere einzelne Phasen, bestehend aus Gruppenar­beits- und Einzelarbeitsaktivitäten.

In den Phasen der Gruppenarbeiten erarbeiten die SuS in Gruppengrößen zwischen 4 und 5 Mitgliedern die Auf­gabenstellungen eigenverantwortlich und kooperativ.

Die Erarbeitungsphase beginnt mit einer GA, in der die SuS gemeinsam die Winkel ih­res Dreiecks messen, sie in ihrem Dreieck und in der Tabelle notieren und die Drei­ecksart bestimmen. Durch die indirekte Aufforderung, die gemessenen Winkelgrößen mit einander zu vergleichen, werden die SuS auf die Messproblematik stoßen. Mit dem Hinweis: „Eure Ergebnisse sind sicher nicht alle gleich, wie könnten die Unterschiede entstanden sein."? Kann kurz auf die Erklärung von Messfehler und auf die Problematik der Messgenauigkeit eingegangen werden. Der zweite Auftrag besteht darin, die Ecken des Dreiecks in GA abzu­reißen und aneinan­der zu legen.

 

Die SuS ollen entdecken, dass die Winkel richtig aneinander gelegt einen gestreckten

Winkel von 180° ergeben.

Hieraus sollen die SuS schlussfolgern und eine Vermutung aufstellen, dass die Innen­winkel zusammen im Dreieck 180° ergeben. In einer weiteren Phase sollen die SuS in EA auf einem Arbeitsblatt alle Winkel von ver­schiedenen Dreiecken messen und die Drei­ecksarten bestimmen. Die Einzelarbeit bietet sich hier an, damit auch wirklich jeder Schüler aktiv wird. Dass einige Schüler im Messen der Winkel schneller sein werden als an­dere, bereitet hier keine Schwierig­keiten. Die Einzelarbeit kann jederzeit beendet werden, da es für den weiteren Verlauf nicht zwingend erforderlich ist alle Winkel der Dreiecke gemessen zuhaben. In GA sollen die Ergebnisse vergleichen und die Vermutung überprü­ft werden. Anschlie­ßend sollen sie das Gelernte verbalisieren, indem sie einen Merksatz formulie­ren.

Falls eine Gruppe schneller als erwartet fertig werden sollte, befindet sich auf jedem Grup­penarbeitsauftrag ein Zusatz für „Schnelle". Hierbei geht es darum, das Gelernte anzuwenden und zu mathematisieren. Die SuS sollen einen fehlenden Winkel berechnen und den Vorgang beschreiben.

Für die gesamte Erarbeitungsphase haben die SuS 20 min. Zeit, diese etwas längere Zeit­spanne lässt sich mit der entdeckenden Selbsttätigkeit der SuS begründen.

 

Gruppenpräsentation/ Ergebnissicherung

Die Ergebnissiche­rung geschieht anhand der Gruppenpräsentationen in einem LSG an der Tafel. Hierzu reicht es, wenn ein Schüler aus jeder Gruppe die Ergebnisse vorstellt. Um den SuS eine Hilfestellung zu geben und sie nicht unnötig mit dem Abschreiben des Tafelbildes aufzuhalten, bekommen sie ein Blatt, auf dem das Tafelbild abgebildet ist. Die SuS müssen lediglich die Lücken durch die Gruppenergeb­nisse auf dem Blatt ergänzen und es abheften.

Das Tafelbild soll die Erkenntnisse aus den Gruppenarbeitsphasen auf der ikonischen Ebene unterbreiten. Der gemeinsam aufgestellte Merksatz wird gut leserlich an der Tafel festgehal­ten. Als Hausaufgabe, sollen die SuS die letzte Spalte des Arbeitsblattes, bzw. des Tafelbildes füllen, dazu wiederholen sie das Messen von Winkeln und teilen einen gestreckten Winkel in vorgegebene Winkel ein.

 

Reflexionsphase /HA Vergabe/ Abschluss

Zum Abschluss der Stunde soll eine kurze Reflexionsphase stattfinden, in der die SuS sagen sollen, was sie gelernt haben und wie sie die Stunde empfunden haben. Dies fördert die Re­flexions- und Meinungskompetenz der SuS und gibt ein Feedback, aus dem Schlüsse für weitere Stun­den geschlossen werden können.

 

Didaktische Reserve

Als didaktische Reserve dient ein Arbeitsblatt, auf dem es darum geht fehlende Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes zu berechnen. Hierbei hätte jeder einzelne Schüler die Mög­lichkeit sich die Zentralen Inhalte der Stunde ganz für sich zu verinnerlichen und das Gelernte anzuwenden.

5. Lernziele

Das zentrale Lernziel der Unterrichtsstunde ist, dass die SuS den Innenwinkelsummensatz im Dreieck entdecken und begründen können, indem sie Gelerntes verbalisieren (eine Vermutung und einen Merksatz eigenständig aufstellen) und fehlende Winkel berechnen, indem sie den Innenwinkelsummen­satz zur Rechnung verwenden.

 

Darüber hinaus sollen die SuS...

 

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Im kognitiven Bereich:

... Dreiecksarten benennen und bestimmen.

... Winkel unterscheiden, messen und zeichnen.

... mit dem Geodreieck arbeiten.

... die Art eines Winkels benennen (spitzer, rechter, stumpfer, gestreckter, überstumpfer

Winkel, Vollwinkel)

... den Innenwinkelsummensatz entdecken.

... Winkelsummen bestimmen, angeben und begründen können.

Im affektiven Bereich:

... soziale Fähigkeiten wie Teamgeist, Rücksichtsnahme und Toleranz trainieren.

... die Unterrichtsstunde und ihren Lernweg reflektieren, Gefühle und Meinungen äußern.

Im kommunikativen Bereich:

... einen Merksatz formulieren.

... das Gelernte kommunikativ anwenden

... kommunikativen Kompetenzen trainieren, wie beispielsweise einander zu zuhören

... mathematische Vermutungen anstellen.

...Ursachen von Messfehlern erklären.

6. Verlaufsplanung

Zeit/ Phase	Unterrichtsgeschehen	Didaktischer Kommentar	Medien, Methoden, Sozial­formen
Unterrichtsbeginn mit Begrüßung (2 min.)	Die SuS werden begrüßt und der Gast wird vorgestellt.	Ritualisierte Begrüßung	Frontalunterricht
Einstieg (Wiederholende Übung) (3 min.)	L hält verschiedene Dreiecke hoch, SuS müssen die Dreiecksart benen­nen.	Der Einstieg soll motivierend wir­ken und das Gruppengefühl für die Stunde stärken.	Verschiedene Dreiecke aus Papp­karton, Spiel, LSG,
Hinführung zum Thema     (2 min.)	Als letztes Dreieck wird ein gleich­seitiges Dreieck hoch gehalten à Übergang alle Winkel 60°, d.h. In­nenwinkel 180°. Im Folgenden, Schauen, wie es sich mit Winkeln in anderen Dreiecken verhält.	Das sich selbst erklärende Beispiel, des gleichseitigen Dreiecks zur Ein­führung des Begriffs der Winkel­summe soll Schüler ermutigen und Entdeckerlust anregen.	Gleichseitiges Pappdreieck, LSG
Erarbeitungsphase   (20 min.)	SuS bearbeiten in Gruppen einen Arbeits­auftrag.	Die Gruppenarbeit ist nach dem Prin­zip der inneren Differenzie­rung ges­taltet. Stärkere sollen eine Lehrerrolle überneh­men und Schwächeren helfen.	Umschlag mit Arbeitsauftrag, Dreiecke aus Pappkarton, Arbeitsblätter
5. Ergebnispräsentation/ -sicherung (10 min.)	Ergebnisse der GA werden ge­sammelt und an einem systemati­sierten Tafel­bild zusammengetra­gen. SuS ergän­zen auf AB	Die Festhaltung an der Tafel soll die Ergebnisse und den zentralen Merk­satz noch mal visuell unter­breiten.	Tafel, LSG
6. HA Vergabe   (2 min.)	L erklärt den SuS die Hausaufgaben. .	SuS sollen sich mit dem Lerngegenstand der Stunde noch einmal für sich ganz allein verinnerlichen.	Frontalunterricht
7. Reflexion   (6 min.)	Die SuS sollen ihre Gedanken und Mei­nungen über ihren Lern­weg und die Un­terrichtstunde äu­ßern	die SuS sollen ihre Tätigkeiten der Stunde reflektieren, diese Form der Reflexion dient des Feedbacks.	LSG
8. Pädagogische Reserve I         Pädagogische Reserve II	Zusatz für „Schnelle" aus GA gemeinsam bearbeiten: Berechnung eines fehlenden Winkels im Dreieck durch Anwendung des Innenwinkelsummensatzes.   AB: Berechnung fehlender Winkel	Die SuS sollen Gelerntes anwenden. Durch die große Menge an dem bereitge­stellten Material, kommt es zu keiner Unterforderung der Schüler.	LSG

7. Literatur

Hessisches Kultusministerium (2003): Lehrplan Klassenstufe 5-10. Bildungsgang Realschule. Mattes, Wolfgang (2004): Methoden für den Unterricht. 75 kompakte Übersichten für Lehrende und Lernende. Schöningh Verlag Braunschweig, Paderborn, Darmstadt, S.32. Pies, Anja, Borneleit, Peter, Winter, Martin (Hrsg.) (2008): Interaktiv Mathematik 6 Hessen. Cornelsen Verlag, Berlin S.115. Weiß, Dr. Joachim (1996): Meyers Taschen Lexikon. In 12 Bänden. Band 3. B.I.- Taschenbuchverlag. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, S.796 f.

 

[1] {#_ftnref1} Hessisches Kultusministerium (2003): Lehrplan. Bildungsgang Realschule. Schulstufen 5-10, S. 11.

[2] {#_ftnref2} Ebd., S.11.

[3] {#_ftnref3} Weiß, Dr. Joachim (1996): Meyers Taschen Lexikon. In 12 Bänden. Band 3. B.I.-Taschenbuchverlag.

Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, S.796 f.

[4] {#_ftnref4} Pies, Anja, Borneleit, Peter, Winter, Martin (Hrsg.) (2008): Interaktiv Mathematik 6 Hessen. Cornelsen Verlag,

Berlin S.115.

[5] {#_ftnref5} Böttner, Joachim et al. (Hrsg.) (2006): Schnittpunkt Mathematik 7. Niedersachsen. Klett Verlag Stuttgart,

Leipzig, S. 56.

[6] {#_ftnref6} Ebd, S.56.

[7] {#_ftnref7} Vgl. Mattes, Wolfgang (2004): Methoden für den Unterricht. 75 kompakte Übersichten für Lehrende und

Lernende. Schöningh Verlag Braunschweig, Paderborn, Darmstadt, S.32