Würfel herstellen und mit Würfeln bauen

Datum: 02. Januar 2011 Autor: Ninchen42 Kommentare: 0

Zusätzliche Informationen:

Diese Fertigkeiten sind nicht nur für den Geometrieunterricht an weiterführenden Schulen, sondern auch für alltägliche Situationen oder die spätere Berufswahl von Bedeutung.

Würfel herstellen und mit Würfeln bauen

1. Einleitung

Die vorliegende Ausarbeitung behandelt das Thema „Würfel herstellen und mit Würfeln bauen“. Dieses Thema ist fest im Lernplan verankert und somit für den Mathematik- beziehungsweise Geometrieunterricht in der Grundschule unverzichtbar. Das Herstellen von Würfeln und das Bauen mit Würfeln erfordert Geschicklichkeit und schult das räumliche Vorstellungsvermögen. Diese Fertigkeiten sind nicht nur für den Geometrieunterricht an weiterführenden Schulen, sondern auch für alltägliche Situationen oder die spätere Berufswahl von Bedeutung. In vielen Alltagssituationen und Tätigkeiten ist räumliches Vorstellungsvermögen gefragt: Beim Sport, im Straßenverkehr oder beim Spielen. Außerdem ist in Berufen wie Raumausstatter, Architekt, Fräser oder Bauzeichner räumliches Vorstellungsvermögen erforderlich.
Das räumliche Vorstellungsvermögen nun speziell mit dem Herstellen von und Bauen mit gewissen Körpern, hier dem Würfel, zu fördern hat den Vorteil, dass dabei dann auch die Eigenschaften des jeweiligen Körpers entdeckt und verinnerlicht werden können. Außerdem bietet sich die Möglichkeit, weiterführende Themen vorzubereiten.
Einführend wird der Würfel mit seinen Eigenschaften definiert und näher betrachtet. Im Anschluss daran werden wir in Anlehnung an die durchgeführte Befragung von Schüler und Schülerinnen [1] in der dritten und vierten Klasse einer Grundschule, die entstandenen Schüleräußerungen im Hinblick auf die Würfeleigenschaften deuten. Im zweiten Teil der Ausarbeitung werden wir unser Augenmerk auf die Herstellung eines Würfels richten, in dem die Herstellung als Vollkörper aus Knete, als Kantenmodell und als Flächennetz, dargestellt und erläutert wird. Hierbei wird der Bezug zu den Eigenschaften des Würfels hergestellt, die man aus der jeweiligen Art der Herstellung gewinnen kann. Ein weiterer Schwerpunkt behandelt den Bereich „Mit Würfeln bauen“, wobei hier unter anderem das räumliche Vorstellungsvermögen thematisiert wird. Außerdem beschreiben und reflektieren wir in diesem Zusammenhang die raumgeometrischen Spiele Potzklotz und Somawürfel. Der Lehrplanbezug, der im fünften Kapitel hergestellt wird, bezieht sich auf die inhaltsbezogenen Kompetenzen des Bereichs „Umgang mit Raum und Form“ mit dem Schwerpunkt „Umgang mit Körpern“. Abschließend fassen wir die Einsatzmöglichkeiten des Würfels im Unterricht zusammen und beschreiben die damit verfolgten Lernziele.

2. Der Würfel

Der folgende Abschnitt gliedert sich in zwei Bereiche. Als Erstes wird der Würfel mit seinen Eigenschaften definiert. Im Anschluss an diese Erläuterungen wird eine Befragung zum Würfelverständnis in einer dritten und vierten Klasse beschrieben und analysiert.

2.1 Eigenschaften eines Würfels

Um die Ergebnisse der durchgeführten Befragung in der Grundschule analysieren zu können, wird der Würfel im Folgenden näher betrachtet.
Der Würfel und der Spielwürfel werden im täglichen Sprachgebrauch meist synonym verwendet und seltener ist der Würfel als Kubus oder Hexaeder bekannt. Er ist ein von sechs gleichen Quadraten begrenzter Körper.[2] Beim Würfelnetz, das durch Abrollen eines Würfels entsteht, werden die zusammenhängenden quadratischen Flächen besonders deutlich. Daraus ergibt sich das Charakteristikum, dass alle Würfel zueinander ähnlich sind.[3] Er be-sitzt zwölf gleich lange Kanten, wobei sich immer drei Kanten in einer Ecke treffen. Diese stehen paarweise senkrecht aufeinander. Außerdem besitzt der Würfel acht Ecken sowie vier Raum- und zwölf Flächendiagonalen. Wenn man die Länge einer Kante als a definiert, dann gilt für das Volumen V=a³ und für die Oberfläche O=6•a². Den Flächeninhalt kann man mit a² berechnen.[4]
Die folgende Abbildung zeigt das Schrägbild eines Würfels.

2.2. Wie definieren Kinder einen Würfel?

Um einen Einblick in das Würfelverständnis von Kindern zu erhalten, bekamen einige Kinder aus einer dritten und vierten Klasse ein Aufgabenblatt mit der Fra-gestellung „Was ist ein Würfel?“. Sie sollten in einigen Sätzen definieren, was sie unter einem Würfel verstehen bzw. schon gelernt haben. Um nicht das Verständ-nis eines Spielwürfels zu erzeugen, wurde den Kindern vor der Bearbeitung der Aufgabe ein Holzwürfel (ca. 2x2 cm) gezeigt.
Zunächst werden einige Schüleräußerungen aus der dritten Klasse analysiert.

Ein Junge schreibt Folgendes:

Aus seiner Äußerung kann man entnehmen, dass er dem Würfel sechs Ecken zuschreibt. Wahrscheinlich kommt er zu dieser Äußerung, da er die Begrifflichkeiten wie Ecken, Kanten und Flächen noch nicht kennengelernt oder verinnerlicht hat. Sind die Begriffe noch nicht verinnerlicht, dann kann man von einer Verwechslung der Bezeichnungen ausgehen. Vermutlich meint er, dass der Würfel sechs Flächen besitzt, verwechselt aber die Begriffe und kommt dann zu der Aussage „ein Würfel hatt 6 ecken“. Falls er die Begrifflichkeiten allerdings noch nicht kennengelernt hat, verwendet er wahrscheinlich eigene Bezeichnungen zur Beschreibung eines Würfels.
Außerdem schreibt er, man könne den Würfel rollen und mit ihm spielen. Obwohl den Kindern vor der Bearbeitung der Aufgabe ein Holzwürfel gezeigt wurde, um genau diese Vorstellung, das heißt die eines Spielwürfels zu vermeiden, kam diese Vorstellung trotzdem zum Vorschein. Ein Argument für die Bezugnahme des Spielwürfels könnte die unter 2.1 erläutert Tatsache sein, dass der Würfel im täglichen Sprachgebrauch meist der Spielwürfel ist. Das Rollen bezieht sich hier vermutlich auf das Werfen eines Würfels. Die Aussage „da mit kann man matte machen“ lässt darauf schließen, dass der Schüler bereits im Mathematikunterricht mit dem Würfel konfrontiert wurde.

Ein weiterer Junge aus derselben Klasse schreibt:

Der Schüler ordnet dem Würfel die Eigenschaft zu, dass er „Vierekich“ ist. Dieses ist eine wichtige Beobachtung des Jungen, weil er die viereckige Form der Flä-chen erkannt hat. Diese Äußerung könnte eventuell auf die quadratische Grund-form des Würfels bezogen sein. Des Weiteren beschreibt er, dass der Würfel sechs Ecken hat. Auch hier kann die Vermutung der Verwechslung oder der feh-lenden Kenntnis der Begrifflichkeiten herangezogen werden. Bei diesem Schüler tritt ebenfalls die Vorstellung eines Spielwürfels hervor und bekräftigt erneut seine häufige Verwendung in Spielsituationen.

Im Folgenden werden einige Schüleräußerungen aus der vierten Klasse analy-siert.

Ein Mädchen äußert sich wie folgt:

Diese Schülerin grenzt den Spielwürfel von einem Würfel ab und definiert ihn, wie folgt: „Ein spiele Würfel ist ein Viereck mit Punkten drauf“. Sie beschreibt, dass es verschiedene Arten von Würfeln gibt und der Spielwürfel einer von diesen ist. Außerdem schreibt sie „Ein Würfel ist eine Viereckige vorm mit 6 Ecken und 8 Kanten“. Sie macht hier die Beobachtung der viereckigen Flächen des Würfels, aber vertauscht einige Begrifflichkeiten. Anstatt korrekterweise zu schreiben, dass der Würfel acht Ecken und sechs Flächen besitzt, ordnet sie dem Würfel sechs Ecken und acht Kanten zu. Dieses könnte ein Indiz dafür sein, dass ihr die Begrifflichkeiten bereits bekannt sind, aber sie diese noch nicht verinnerlicht hat.

Der folgende Schüler schreibt zum Würfel Folgendes:

Er ist der einzige Schüler, der den Flächenbegriff richtig verwendet. Des Weite-ren erkennt auch er die viereckige Form der Flächen und schreibt „Ein Würfel ist 4 Eckich“. Seine Aussage „Er ist sehr leicht“ bezieht sich vermutlich auf den Holzwürfel, den die Kinder vor der Bearbeitung der Aufgabe gezeigt bekommen haben. Während der Bearbeitung durften die Kinder den Würfel auch genauer betrachten und anfassen.

Ein weiterer Junge schreibt:

Dieser Schüler schreibt richtigerweise, dass der Würfel acht Ecken besitzt. Auf die Nachfrage, was er als „platen“ definiert, zeigt er auf dem Holzwürfel die sechs quadratischen Flächen. Er gebraucht also anstelle von Flächen den Begriff „pla-ten“. Die Beschreibung „Er ist leicht, Er ist hart, Er ist laut wen er hinfelt, Er ist schwer zu zerchtören“ wird vermutlich speziell auf den Holzwürfel bezogen sein, da man diese Eigenschaften nicht verallgemeinern kann. Seine Äußerung zur häufigen Benutzung des Würfels könnte hier im Zusammenhang mit dem Spiel-würfel stehen, weil man diesen oft beim Spielen benutzt. Dieser Schüler sagt als Einziger aus, ein Würfel könne nicht rollen. Er grenzt hier den Würfel von einer Kugel ab. Wahrscheinlich schreibt er dieses, weil seine eckige und kantige Form ihn nicht rollen lässt.

Ein weiterer Schüler aus derselben Klasse schreibt Folgendes:

Er definiert den Würfel als ein Viereck. Diese Äußerung macht er vermutlich we-gen der Tatsache, dass der Würfel aus viereckigen Flächen besteht. Außerdem schreibt der Schüler, dass der Würfel nur stehen bleibt. Wahrscheinlich meint er damit, dass der Würfel aufgrund seiner Grundfläche nicht rollen kann, sondern stabil ist und stehen bleibt. Auch dieser Schüler bezieht sich unter anderem auf den Spielwürfel und spricht in diesem Zusammenhang seine Nützlichkeit an.

Insgesamt kann man festhalten, dass sich die Schüleräußerungen innerhalb einer Klassenstufe ähneln. Alle Schüler aus der dritten Klasse verbinden in ihrer Vorstellung den Würfel mit einem Spielwürfel und ordnen ihm sechs Ecken zu. In der vierten Klasse tauchen die Begrifflichkeiten wie Flächen, Ecken, Kanten und Vierecke auf. Allerdings sind die Begrifflichkeiten noch nicht in dem Maße verinnerlicht, dass Verwechslungen vermieden werden. Auch in der vierten Klasse ist die Vorstellung eines Spielwürfels vertreten, allerdings tritt diese zugunsten anderer Merkmale des Würfels in den Hintergrund.
Zudem wird eine richtige Vorstellung des Würfels durch den Umstand erschwert, dass in der Umwelt nur sehr selten würfelförmige Gegenstände existieren. Häufig werden Objekte als Würfel bezeichnet, die nicht würfelförmig sind dazu gehören beispielsweise der Zuckerwürfel oder sogar der Spielwürfel. Problematisch an dieser Stelle ist die verbreitete Vorstellung den Spielwürfel als Paradebeispiel eines Würfels zu definieren. Dieser stellt allerdings in den seltensten Fällen tatsächlich einen Würfel dar, da er die notwendigen Merkmale eines Würfels als geometrischen Körper nicht erfüllt. Dazu zählen vor allem seine abgerundeten Ecken und Kanten. Der Würfel ist somit als mathematisches Konstrukt zu deuten.

3. Würfel herstellen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Würfel selber herzustellen. Dabei werden jeweils unterschiedliche Materialien benötigt, die der Lehrer im Unterricht bereitstellen muss. Die erste Möglichkeit der Herstellung ist der Würfel als Vollkörper. Hierbei bieten sich verschiedene Materialien wie beispielsweise Rüben, Kartoffeln, Styropor oder Knete an.[5] In diesem Fall betrachten wir die Herstellung aus Knete. Eine weitere Möglichkeit bietet das Kantenmodell eines Würfels, wobei hier jeweils Material für die Kanten und die Ecken benötigt wird. Das Material kann sich aus Strohhalmen, Zahnstochern oder Streichhölzern (Kanten) und Knete oder Papier (Ecken) zusammensetzen oder man verwendet Magnetstäbchen und –kugeln. Die dritte Möglichkeit der eigenständigen Herstellung eines Würfels ist, diesen aus einem Flächennetz zu falten und schließlich zusammenzukleben. Neben diesen drei Möglichkeiten gibt es noch die, einen Würfel aus quadratischem Papier nach einer Faltanleitung zu falten. Dabei werden neben dem quadratischen Papier keine weiteren Materialien oder Hilfsmittel benötigt. Diese Ausarbeitung beschränkt sich jedoch auf die ersten drei genannten Möglichkeiten. Denn diese eignen sich eher, um die Eigen-schaften eines Würfels entdecken und vertiefen zu können. Das Falten eines Würfels dagegen zielt eher auf die Schulung des räumlichen Vorstellungsver-mögens.[6]
Der Einsatz der Herstellung von Würfeln im Unterricht empfiehlt sich im dritten oder vierten Schuljahr. Allerdings muss die Herstellung von Vollkörpern bereits am Ende der Schuleingangsphase als Kompetenz erworben worden sein.[7] Bei der Herstellung von Würfeln können wichtige Eigenschaften selbstständig handelnd entdeckt werden, deren Begrifflichkeiten dann im Unterricht erarbeitet werden. Durch die einheitliche Verwendung der Begriffe ist eine geeignete Kommunikation innerhalb der Gruppe möglich, ohne dass Missverständnisse den Lernfortschritt verzögern. Zumal jedes einzelne Modell jeweils andere Merkmale verdeutlicht, sollten im Unterricht auch mehrere Modelle hergestellt werden [8] , sodass auch alle Merkmale eines Würfels selbstständig entdeckt werden können und somit thematisiert werden.
Im Folgenden wird auf die zu entdeckenden Merkmale eines Würfels sowie die mit der Herstellung verbundenen möglichen Schwierigkeiten zur Entdeckung dieser Merkmale beim jeweiligen Modell eingegangen.

3.1 Würfel als Kantenmodell

Das Material zur Herstellung eines Kantenmodells eines Würfels besteht aus kleinen Magnetstäbchen und -kugeln. Die Stäbchen lassen sich zu Kanten verschiedener Länge zusammensetzen, es können demnach Würfel unterschiedlicher Größe hergestellt werden und somit kann auf die Ähnlichkeit aller Würfel zueinander geschlossen werden.
Bei dieser Art der Herstellung können besonders die Anzahl der Ecken, die ja nun der Anzahl der Kugeln entspricht, die Anzahl der Kanten, die der jeweiligen Zusammensetzung der Stäbchen entspricht, und auch die Länge der Kanten entdeckend bestimmt werden. Denn die Länge der Kanten ist immer gleich, es werden also jeweils gleich viele Stäbchen zur Zusammensetzung einer Kante gebraucht. Zu erkennen ist dann auch, dass sich immer drei Kanten an einer Ecke treffen. Franke macht an dieser Stelle darauf aufmerksam, dass diese Erkenntnis für den Umgang mit Flächennetzen hilfreich ist (vgl. 3.2).[9]
Das Material lässt eine gewisse Beweglichkeit zu, wodurch eine weitere Eigen-schaft entdeckt werden kann. Wenn man die obere Fläche des Modells langsam zu einer Seite kippt, ändern sich die Winkel der aufeinandertreffenden Kanten. Hier kann dann die Erkenntnis erfolgen, dass die Winkel zwischen diesen Kanten bei einem Würfel jeweils immer 90° betragen. Hier zeigen sich schließlich auch die Grenzen des Materials, denn besonders große Würfel sind schwierig herzustellen, da dann keine ausreichende Stabilität mehr gegeben ist. Somit ergibt sich als besondere Herausforderung bei diesem Material, die rech-ten Winkel zu erhalten.
Da das Kantenmodell den Würfel als „offenen Körper“ zeigt, lässt es weitere Tä-tigkeiten in seinem Innern zu. So können die Kinder die Stabilität des Modells verstärken und ihm Flächen- oder Raumdiagonalen zufügen. Dabei werden sie feststellen, dass diese Diagonalen länger sind als die Kanten des Würfels. Das Material ermöglicht folglich auch, erste Erkenntnisse zu Flächen- und Raum-diagonalen zu entwickeln.[10]
Schwierig bei diesem Material ist die Tatsache, dass die Ecken eines solchen Kantenmodells aus Kugeln bestehen und somit keine „echten“ Ecken sind.

3.2 Würfel als Flächennetz

Ein Würfelnetz entsteht, wenn man einen Würfel aus Papier oder Pappe so auseinander schneidet und aufklappt, dass ein zusammenhängendes Stück aus sechs gleichgroßen Quadraten entsteht. Es gibt insgesamt elf solcher Würfel-netze.
Wenn man nun umgekehrt einen Würfel aus einem Würfelnetz herstellen möchte, muss man sich im Klaren darüber sein, welche Würfelnetze überhaupt möglich sind. Je nach Fortschritt der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens können die Kinder unterschiedlich an die Aufgabe herangehen. Kinder, deren räumliches Vorstellungsvermögen bereits gut ausgebildet ist, können die vorliegenden Würfelnetze im Kopf zu einem Würfel zusammenfalten. So fließen in diese Art der Herstellung auch in gewissem Maße Elemente der Kopfgeometrie mit ein. Kinder, deren räumliches Vorstellungsvermögen weniger weit entwickelt ist, können die Richtigkeit auch erst durch Ausschneiden und Zusammenfalten überprüfen. Vor der eigentlichen Herstellung, wenn nun die möglichen Würfelnetze gefunden worden sind, muss ein weiterer Aspekt beachtet werden. Um das Netz zu einem Würfel zusammenkleben zu können, benötigt man an einigen Stellen Klebelaschen. Wo und wie viele man davon benötigt, kann allerdings herausgefunden werden. Das Aufschneiden eines Papierwürfels, um ein Würfelnetz zu erhalten, erfordert sieben Schnitte. Eben genauso viele Klebelaschen sind auch nötig, wenn man das Netz wieder zu einem Würfel zusammenkleben möchte.[11]
Bei der Herstellung eines Würfels aus einem seiner Netze wird ganz besonders die Anzahl und Kongruenz der Flächen deutlich, da diese zusammenhängend vorliegen. Durch die zusammenhängenden, aufeinandertreffenden Flächen tritt das Merkmal hervor, dass alle Kanten eines Würfels gleich lang sind, obwohl die Kanten in diesem Modell nicht explizit sichtbar sind.

3.3 Würfel als Vollkörper aus Knete

Bei der Herstellung eines Würfels aus Knete ist man gefordert, jede einzelne Ei-genschaft eines Würfels zu berücksichtigen. Denn bei diesem Material ist im Ge-gensatz zu den anderen Materialien kein Kriterium des Würfels vorgegeben. Be-reits bekannte Eigenschaften können an diesem Modell weiter vertieft und noch nicht bekannte entdeckt werden.
Das Material bringt gewisse Schwierigkeiten mit sich. Durch die Verformbarkeit der Knete ist es schwierig, nahezu unmöglich, einen Würfel „mit kongruenten Seitenflächen und rechten Winkeln herzustellen“.[12] Auch das Formen der Ecken kann nicht genau erfolgen. Doch gerade durch diese Schwierigkeit rücken die Eigenschaften des Würfels noch mehr in das Bewusstsein der Kinder.
Speziell können hier vor allem die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen erfahren werden. Außerdem ist hier besonders auf die Eigenschaft zu achten, dass die Flächen alle gleichgroß sind und paarweise jeweils auch parallel zueinander sind beziehungsweise senkrecht aufeinander stehen.
Mit der Knete lassen sich Würfel unterschiedlicher Größe herstellen, sodass auch die Ähnlichkeit aller Würfel zueinander deutlich wird. Um die Kongruenz und die Anzahl der Flächen eines Würfels noch deutlicher werden zu lassen, schlägt Franke das Färben des Materials und anschließendes Drucken vor. Wenn man hierbei jede Seitenfläche in eine andere Farbe einfärbt, kann man diese gut miteinander vergleichen und dabei die genannten Eigenschaften erkennen.[13]
Dadurch, dass der Würfel als ausgefüllter Körper hergestellt wird, wird hier auf das Volumen dieses Körpers vorbereitet. Hierzu sind also auch erste Erkenntnisse vonseiten der Kinder möglich.

4. Mit Würfeln bauen

4.1 Raumvorstellung

Der Begriff der Raumvorstellung stammt ursprünglich aus der Intelligenzfor-schung. So betrachtete beispielsweise Thurstones das räumliche Vorstellungs-vermögen als eine von sieben Dimensionen von Intelligenz.[14] Die Ver-wendung der Begriffe Raumvorstellung und räumliches Vorstellungsvermögen erfolgen zumeist synonym.
Auch im Lehrplan für Mathematik des Landes Nordrhein-Westfalen wird die Schulung der Raumorientierung wie auch der Raumvorstellung als ein zentrales Ziel des Geometrieunterrichts in der Grundschule bezeichnet.[15] Weiterhin wird die Förderung der Raumvorstellung als fächerübergreifendes Lernziel in der Schule anerkannt. Die Wichtigkeit des räumlichen Vorstellungsvermögens hängt zum Einen mit seiner Relevanz für Schul-, Studien- und Berufserfolg zusammen und zum Anderen dient es als Hilfsmittel kreativen Denkens.[16]
Sowohl räumliche Wahrnehmung als auch räumliches Sehen müssen als Voraussetzungen zur Entwicklung der Raumvorstellung gegeben sein. Die räumliche Wahrnehmung bezeichnet das Erfassen räumlicher Gegenstände und Beziehungen durch die Sinnesorgane. Bei einer normalen Entwicklung stellt sich die Herausbildung der räumlichen Wahrnehmung als problemlos dar. Räumliches Sehen umfasst die Interpretation ebener Bilder und Zeichnungen als dreidimensionale Körper. Nach Piaget ist auch diese Voraussetzung für räumliches Vorstellungsvermögen in der Regel erfüllt.
Besuden differenziert drei Unterfaktoren der Raumvorstellung. Zunächst nennt er die räumliche Orientierung. Dabei bezieht es sich auf die Fähigkeit zur richtigen räumlichen Einordnung der eigenen Person wie auch zu Bewegungen innerhalb eines Raumes, welche in der Wirklichkeit oder gedanklich im Kopf geschehen können. Des Weiteren bezeichnet er räumliches Vorstellungsvermögen als zentrale Fähigkeit der Raumvorstellung. Dieser Unterfaktor umfasst die sprachliche und handelnde Reproduktion räumlicher Objekte und Beziehungen auch bei deren Abwesenheit. Abschließend ergänzt Besuden die Fähigkeit des räumlichen Denkens, was den beweglichen Umgang mit räumlichen Vorstellungsinhalten einschließt. Dabei müssen Objekte sowie Handlungen mit Objekten, wie beispielsweise Drehung, Verschiebung oder hervorgerufene Lageveränderungen, bereits verinnerlicht worden sein.[17]
Der Begriff der Raumvorstellung meint also sowohl das Speichern und die ge-dankliche Verarbeitung von Objekten als auch die Fähigkeit zum räumlichen Operieren mit diesen konkreten, sichtbaren oder vorgestellten Objekten. Es soll ein Übergang von der bloßen visuellen Wahrnehmung und tatsächlichen Be-wegung zur räumlichen Vorstellung mit mentalen Bewegungen und Umordnungen stattfinden.[18]
Die Entwicklung und Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens gilt nun als eines der Ziele des Geometrieunterrichts. Zur Schulung dessen kann im Unterricht mit Tätigkeiten, wie beispielsweise dem materiellen Bauen, begonnen werden. Dabei ist darauf zu achten, dass ein Übergang von der tätigen Handlung zur mentalen Vorstellung stattfinden kann. Allerdings sollten Kinder solange wie nötig die Möglichkeit zur Überprüfung und Kontrolle am konkreten Material er-halten.

4.2 Bauen als elementare Tätigkeit

Die alltäglichen Erfahrungen, Beobachtungen und Aktivitäten der Kinder finden im Raum, also in einer dreidimensionalen Umwelt statt. Auf diese Weise und bei der Auswahl der Objekte kann an den Vorerfahrungen der Schüler angesetzt werden. Das Bauen als elementare Tätigkeit kann dazu dienen, geometrische Erkenntnisse am konkreten Material zu erlangen und gleichzeitig das räumliche Vorstellungsvermögen zu schulen. Franke unterscheidet zwei Arten des Bauens. Auf der einen Seite können Schüler frei nach ihren Vorstellungen bauen und auf der anderen Seite bauen sie nach bestimmten Vorgaben. Die dabei entstehenden Bauwerke liefern Gesprächsanlässe, die die Kinder dazu anregen, sie zu beschreiben, zu vergleichen oder zu verändern. Dies ermöglicht die Einführung von Ordnungs- und Eigenschaftsbegriffen bezüglich der Raumvorstellung sowie die Entdeckung von eventuellen Gesetzmäßigkeiten und Eigenschaften der Objekte selbst. Zudem können weiterreichende Zusammenhänge erkannt werden. Außerdem können Schüler erste Protokolle anfertigen, indem sie durch Skizzen, Schrägbilder, Baupläne oder sprachliche Protokolle ihre Bauwerke und ihr Vorgehen beschreiben. Diese können dann wiederum als Bauanleitungen für andere Kinder dienen. Somit wird eine Verknüpfung von freiem Bauen und Bauen nach Plan ermöglicht. Mithilfe von Bauplänen können Kinder lernen, bildliche Darstellungen dreidimensionalen Objekten zuzuordnen, wodurch räumliches Sehen gefördert werden kann.
Ergänzend ist zu erwähnen, dass durch das Bauen mit Objekten alle Abstrakti-onsebenen angesprochen werden. Bruner unterscheidet zwischen der enaktiven, der ikonischen und der symbolischen Darstellung und verleiht dem Transfer zwischen diesen Abstraktionsstufen eine besondere Bedeutung für ein tiefes Verständnis des Sachverhaltes. Auf der enaktiven Ebene wird ein Sachver-halt durch eigenständig ausgeführte Handlungen erfasst. Das Bauen mit Material findet auf dieser Darstellungsebene statt. Ikonische Darstellungsformen ermöglichen das Sammeln von Erfahrungen mithilfe von bildhaften Darstellungen, die beispielsweise durch das Protokollieren erreicht werden können. Bei der symbolischen Abstraktionsstufe werden Sprache und Zeichnen mit einer besonderen Bedeutung verwendet. Das Arbeiten mit Bauplänen oder verbale Beschreibungen von Bauwerken und Vorgehensweisen decken die symbolische Abstraktionsebene ab. Die elementare Tätigkeit des Bauens ermöglicht demnach die Verwendung aller Abstraktionsstufen wie auch den Transfer zwischen ihnen.[19]
Neben den verschiedenen Arten des Bauens unterscheidet Franke auch das Material in zwei Kategorien. Zum Einen spricht sie vom Bauen mit heterogenem Material und zum Anderen vom Bauen mit homogenem Material. Bauen mit heterogenem Material bezieht sich auf die Verwendung unterschiedlicher Materialen, Körper und Objekte innerhalb eines Bauwerkes. Das Bauen mit homogenem Material schließt das Bauen mit Würfeln ein.[20]
Beim Bauen mit Würfeln können Kinder die verschiedenen Merkmale und Eigenschaften eines Würfels entdecken, wie dies auch schon beim selbsttätigen Herstellen von Würfeln der Fall ist. Beispielsweise können Kinder erkennen, dass Würfel genau aufeinanderpassen und somit ausschließlich aus gleichen Flächen bestehen.[21]
Im Folgenden stellen wir zwei Spielmöglichkeiten für das Bauen mit Würfeln vor, die auf die Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens zielen.

4.3 Potzklotz

Potzklotz ist ein raumgeometrisches Spiel und dient der Herausforderung und Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Es handelt sich dabei um eine Mischung aus Denk- und Glücksspiel, das aus fünf Holzwürfeln, 56 Karten mit Schrägbildern von Würfelgebäuden und einer Spielunterlage besteht. Diese Spielunterlage ist ein Quadratgitter (5x5), auf dem ein Würfelgebäude bestehend aus fünf Würfeln errichtet wird. Je nach gefordertem Schwierigkeitsgrad stehen verschiedene Spiel- und Regelvarianten zur Verfügung. Die Grundanforderung besteht darin, dass jeder Spieler eine bestimmte Anzahl an Karten mit Schrägbildern erhält und Aufgabe der Spieler ist es reihum, einen Würfel des Würfelgebäudes so umzulegen, dass auf diese Weise eines ihrer abgebildeten Gebäude entsteht. Gelingt dies einem Spieler, darf er die dazugehörige Karte weglegen. Die weiteren Spieler erhalten dabei die Aufgabe, zu kontrollieren und zu überprüfen. Gewinner des Spiels ist derjenige, dem es als Erster gelingt, alle Karten wegzulegen. Der Kartensatz des Spiels ist so aufgebaut, dass insgesamt 28 zwei- und dreistöckige Gebäude aus jeweils fünf Holzwürfeln abgebildet sind. Diese 28 Gebäude sind jeweils aus zwei verschiedenen Richtungen visualisiert, stellen also dasselbe Bauwerk dar. Um zwei Karten demselben Gebäude zuzuordnen, muss ein Perspektivwechsel vollzogen werden, welcher das räumliche Vorstellungsvermögen schult. Einige Abbildungen stellen dagegen Spiegelbilder eines Bauwerks dar. Durch Spiegelung oder Drehung am Material oder im Kopf kann das eine Gebäude auf das andere abgebildet werden. Weiterhin enthält der Kartensatz Würfelgebäude, bei denen ein Würfel vom restlichen Gebäude verdeckt wird. Da alle Gebäude aus fünf Würfeln bestehen, muss die Position des nicht sichtbaren Würfels herausgefunden werden.
Bei diesem Spiel lernen Schüler zum Einen nach Vorgabe der Abbildungen zu bauen und zum Anderen die Würfelgebäude und die dazugehörigen Schrägbilder zueinander in Beziehung zu setzen. Die Verwendung von Potzklotz im Unterricht wird für die Schuljahre eins bis sechs empfohlen und kann im Klassenverband, in Gruppen- oder Einzelarbeit durchgeführt werden. Der Vorteil dieses Spiels liegt in der Spannung, die dadurch entsteht, dass sich die Ausgangslage für die Spieler mit jedem Spielzug verändert.[22]
Das Spiel lässt beispielsweise bei der Auswahl der Karten unterschiedliche Schwierigkeitsgrade zu und ermöglicht somit eine Differenzierung. Auch bei der Durchführung und der Wahl der Regelvariante sind Differenzierungen möglich, indem zum Beispiel bei der Überprüfung eines Bauwerkes die Grundfläche ge-dreht werden darf oder die Drehung für einen Perspektivwechsel in der Vorstel-lung geschehen muss. Diese Kontrolle der anderen Mitspieler liefert gleichzeitig Gesprächsanlässe und fordert die Spieler dazu auf, Begründungen anzustellen und sich gegenseitig auszutauschen. Außerdem kann durch die Überprüfung erreicht werden, dass alle Spieler während des gesamten Spielverlaufs konzent-riert mitdenken und nachvollziehen müssen. Dabei müssen sie ständig Perspektivwechsel vornehmen, Bauwerke spiegeln oder drehen und gleichzeitig Überlegungen anstellen, wie sie selbst die Gebäude umlegen könnten. Diese ständig wechselnde Ausganglage stellt einen besonderen Reiz für Schüler dar, was zu einer erhöhten Motivation führen kann. Mithilfe von Potzklotz kann ein Übergang vom tätigen Handeln mit den Würfeln hin zum Operieren in der mentalen Vorstellung angestrebt werden. Wobei eine Überprüfung am konkreten Material immer möglich ist.

4.4 Somawürfel

„Spiele mit dem Somawürfel“ entstand im Zusammenhang mit dem Programm mathe 2000 und ist die Fortsetzung von „Schauen und Bauen“. Der Somawürfel ist eine Erfindung des Schriftstellers und Mathematikers Piet Hein und besteht aus 27 einzelnen Würfeln. Die einzelnen Würfel sind zu einem Würfeldrilling und sechs unterschiedlichen Würfelvierlingen zusammengefasst. Diese sieben Teile können zu einem großen Würfel (3x3x3) zusammengesteckt werden, was auf 240 verschiedenen Arten geschehen kann. Bei dem Somawürfel, der in der Grundschule eingesetzt wird, sind die sieben Teile meist in unterschiedlichen Farben eingefärbt. Das Spiel enthält außerdem Aufgabenkarten mit unterschiedlichen Aktivitäten. Wie auch schon bei Potzklotz kann mit dem Somawürfel in verschiedenen Spielvariationen umgegangen werden. Eine Grundanforderung besteht hier darin, die sechs abgebildeten Seitenansichten eines Würfels nachzubauen und so eine Möglichkeit der Zusammensetzung zu erhalten. Weitere Anforderungen sind Somatangramme und Körper aus Somateilen herzustellen.
Bei den Spielen mit dem Somawürfel werden alle Abstraktionsebenen von Bruner angesprochen. Die Kinder werden handelnd tätig, indem sie selbst mit den Würfelteilen umgehen. Außerdem arbeiten sie mit bildhaften Darstellungen, wenn sie nach den Abbildungen der Aufgabenkarten bauen. Schließlich bedienen sie sich auch der sprachlich-symbolischen Darstellung von Figuren und Körpern, indem sie diese in Beziehung setzen und darüber kommunizieren. Die Tätigkeiten fördern sowohl das räumliche Sehen als auch das räumliche Denken und schulen somit die Raumvorstellung.
Die Aufgabenkarten enthalten unter anderen zentralperspektivische Darstellun-gen von Körpern. Derartige zentralperspektivische Abbildungen begegnen dem Menschen in seinem Alltag, somit kann der Umgang mit dieser Art von Bildern als grundlegende Fertigkeit angesehen werden, die mithilfe des Somawürfels bereits in der Schule gefördert werden kann. Außerdem lernen Kinder den Um-gang mit Grundriss- und Aufrissdarstellungen, was ebenfalls zu einer grundlegenden Fertigkeit gehört. Kinder sehen die ebenen Abbildungen der Aufgabenkarten und müssen diese richtig interpretieren. Dies bereitet sie auf das Lesen von Plänen im weiteren Leben vor.
Neben der Raumvorstellung fördern die Aktivitäten zum Somawürfel auch Fähig-keiten des geometrischen Denkens. Dazu zählt das Beschreiben von Körpern sowie ihrer Lage im Raum. Die Beschreibung der Körper umfasst seine Merkmale und Eigenschaften, die diesen Körper von anderen unterscheidet. Somit können seine spezifischen Eigenschaften thematisiert werden. Zudem beinhaltet die Beschreibung der Lage eines Körpers im Raum das Operieren mit dem Körper. Des Weiteren können Kinder geometrischen Figuren darstellen, sie beschreiben und mit ihnen experimentieren, was zu einem vertieften Verständnis über diese Figuren führt. Da „Siele mit dem Somawürfel“ verschiedene Arten der Darstellung nutzt, können weiterhin die verschiedenen Merkmale dieser geometrischen Abbildungen herausgestellt werden.
Außerdem eignet sich der Somawürfel zur Förderung der prozessbezogenen Kompetenz des Problemlösens. Da es keinen vorgegebenen Lösungsweg gibt, müssen Kinder Strategien entwickeln und diese im Verlauf immer mehr systematisieren.[23] Ihre möglichen Lösungswege und Herangehensweise können sie anschließend vergleichen und darüber in einen sprachlichen Austausch treten. Die Ergebnisse der Kinder liefern Gesprächsanlässe und fördern somit auch ihre Kommunikationsfähigkeit.

5. Lehrplanbezug

Bei einem Blick in den Lehrplan erkennt man die Wichtig- und Notwendigkeit des hier präsentierten Themas „Würfel herstellen und mit Würfeln bauen“ im Hinblick auf den Mathematikunterricht. In dem Bereich „Umgang mit Raum und Form“ der inhaltsbezogenen Kompetenzen mit dem Schwerpunkt „Umgang mit Körpern“ erkennt man den vielfältigen Einsatz des Würfels.
Kompetenzerwartungen am Ende der Schuleingangsphase sind unter anderem, dass die Schüler geometrische Körper wie beispielsweise den Würfel (auch in der Umwelt) erkennen, benennen und nach Eigenschaften sortieren. Außerdem sollen sie in der Lage sein, Körper (Vollmodelle) sowie einfache Würfelgebäude herzustellen.
Kompetenzerwartungen am Ende der Klasse vier zeichnen sich beispielsweise dadurch aus, dass Schüler geometrische Körper erkennen, benennen, nach Ei-genschaften sortieren und Fachbegriffe wie Fläche und Kante verwenden sol-len.[24] Aus den Schüleräußerungen der dritten und vierten Klasse wird deutlich, dass die Begrifflichkeiten noch nicht verinnerlicht wurden und dies oft zu falschen Äußerungen führte (vgl. 2.2).
Eine weitere Kompetenzerwartung ist das Herstellen von Modellen von Körpern (Kanten- und Flächenmodelle) und von komplexeren Würfelgebäuden. Gut ein-setzbare Materialien vor allem für die Herstellung komplexerer Würfelgebäude liefern die Spiele Potzklotz und Somawürfel (vgl. 4.2 und 4.3). Außerdem sollen Schüler für verschiedene Würfel Netze finden können. Des Weiteren sollen Schüler in der Lage sein, Bauwerken ihre zwei- oder dreidimensionalen Dar-stellungen zuzuordnen und Bauwerke nach Plan zu erstellen. Auch hier sind in diesem Zusammenhang die Würfelspiele (Somawürfel, Potzklotz) nützliche Aneignungs- und Vertiefungsmaterialien. Die im Lehrplan als Letztes beschriebene Kompetenzerwartung ist das Beschreiben und Vergleichen des Rauminhalts von Körpern mit Einheitswürfeln.

6. Schlussbemerkung

Neben inhaltlichen Kompetenzen fördern die Herstellung von Würfeln und das Bauen mit Würfeln auch fachübergreifende Lernziele. Beim Bauen nach Plan, wie es beispielsweise bei Potzklotz oder dem Somawürfel erfolgen kann, müssen Schüler Strategien für einen Problemlöseprozess entwickeln. Das Vorstellen der Ergebnisse oder Vergleichen der Strategien erfordert sprachlichen Austausch der Schüler untereinander. Durch das Kennenlernen weiterer Herangehensweisen kann die Eigene überdacht und daraufhin verändert oder gegebenenfalls sogar verworfen werden. Auf diese Weise wird das individuelle Repertoire an Problemlösestrategien erweitert, das bei neuen Problemen hilfreich sein kann. Das Aufeinandereingehen im Sinne des gegenseitigen verständlichen Erklärens und Zuhörens fördert das soziale Lernen.
Bei der Herstellung von Würfeln und auch beim Bauen mit Würfeln werden Beziehungen zur Kopfgeometrie deutlich, wenn im Vorfeld Objekte in der Vorstellung konstruiert werden und Operationen an ihnen mental durchgeführt werden müssen.
Die Begriffsbildung und das Herausstellen der spezifischen Eigenschaften des Würfels können bei der Herstellung von Würfeln thematisiert und vertieft werden. Dies ermöglicht zum Einen die Abgrenzung des Würfels zu anderen geometri-schen Körpern. Zum Anderen dient die einheitliche Begriffsverwendung der Kommunikation im Klassenverband. Bei den Schüleräußerungen (vgl. 2.2) wird deutlich, dass Begriffe nicht immer einheitlich verwendet werden. So fiel es auch uns schwer, die Äußerungen der Schüler nachzuvollziehen und zu deuten.
Abschließend ist festzuhalten, dass der Würfel reichhaltige Einsatzmöglichkeiten im Geometrieunterricht bietet und somit vielfältige Lernziele verfolgt werden kön-nen.

7. Literaturverzeichnis

Begleitheft: „Spiele mit dem Somawürfel“

Besuden, Heinrich (1984): Knoten, Würfel, Ornamente. Ernst Klett, Stuttgart

Franke, Marianne (2007): Didaktik der Geometrie in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, München

Götze, Daniela; Spiegel, Hartmut (2006): Potzklotz. In: Grundschule Mathematik, 3, 10, S. 16 - 19

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes NRW (2008): Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen. Ritterbach Verlag, Frechen

Radatz, Hendrik; Schipper, Wilhelm; Dröge, Rotraut; Ebeling, Astrid (1999): Hand-buch für den Mathematikunterricht – 3. Schuljahr. Schrödel Verlag, Hannover

Rickmeyer, Knut (1986): Handlungserfahrungen im Geometrieunterricht. Anregungen aus der Praxis. In Grundschule, 4, 44-47

Internetquellen:
http://www.mathematische-basteleien.de/wuerfel.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)

Fußnoten:
[1] Aus Gründen der leichteren Lesbarkeit wird im Folgenden auf eine geschlechtsspezifische Diffe-renzierung verzichtet. Entsprechende Begriffe gelten im Sinne der Gleichbehandlung für beide Ge-schlechter.
[2] Vgl. www.mathematische-basteleien.de
[3] Vgl. Franke 2007, S. 152
[4] Vgl. www.mathematische-basteleien.de
[5] Vgl. Franke 2007, S. 153
[6] Vgl. Radatz et al 1999, S. 164
[7] Vgl. Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW 2008, S. 64
[8] Vgl. Franke 2007, S. 153
[9] Vgl. Franke 2007, S.154 f.
[10] Ebd., S. 155
[11] Vgl. Rickmeyer 1986, S. 47
[12] Franke 2007, S. 153
[13] Vgl. ebd., S. 153f
[14] Vgl. Besuden 1984, S. 70
[15] Vgl. Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW 2008, S. 58
[16] Vgl. Besuden 1984, S. 70
[17] Vgl. Besuden 1984, S. 71
[18] Vgl. Franke 2007, S. 28
[19] Vgl. Franke 2007, S. 134f
[20] Ebd., S. 135ff
[21] Ebd., S. 139
[22] Götze, Spiegel 2006, S. 16f
[23] Vgl. Begleitheft „Spiele mit dem Somawürfel“ S. 4-6
[24] Vgl. Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW 2008, S. 64