Halbschriftliche Verfahren der Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 1000

1.) Unterschied im Erfolg je nach Rechenmethode

2.) Stärken und Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens

3.) Empfehlungen für die Behandlung des halbschriftlichen Rechnens

1.) Unterschiede im Erfolg je nach Rechenmethode

Die verschiedenen Erfolgsquoten, je nach Rechenmethode, könnten für die Kinder Anlass sein das schriftliche Rechnen als ihre Lieblingsmethode zu sehen, da hier anscheinend die größten Erfolge zu erzielen sind. Als „Rechenmethoden" sind hierbei die drei Methoden Kopfrechnen (ohne Notationen und Hilfsmittel wird eine Aufgabe nur im Kopf gerechnet), halbschriftliches Rechnen (Zwischenschritte und Zwischenlösungen einer Aufgabe werden schriftlich notiert, gerechnet wird auch hier im Kopf) und schriftliches Rechnen (die Aufgabe wird nach einem vorgeschriebenen schriftlichen Rechenverfahren bearbeitet, aber auch hier werden die Teilrechnungen im Kopf gelöst) zu verstehen. Dabei sollte man zuerst die Frage klären ob es überhaupt deutliche Unterschiede in den Erfolgsquoten der Schüler/Innen (im folgenden nur „Schüler") gibt. An der Untersuchung von Selter (vgl. Selter, 2000) kann man eine erste Antwort auf diese Frage finden.

Untersuchung von Selter

Die Untersuchung wurde im laufenden Schuljahr bei 298 Schülern aus dem Raum Heidelberg/Mannheim einer dritten Klasse im Jahr 1999 durchgeführt. Die Schüler erhielten zu drei Zeitpunkten (1. im Februar vor der Einführung des schriftlichen Rechnens; 2. im Juni nach Behandlung des schriftlichen Rechnens; 3. im Oktober zu Beginn des vierten Schuljahres) jeweils sechs Additions- und Subtraktionsaufgaben. Dabei wurde den Schülern bewusst freigestellt, mit welcher Methode sie die Aufgaben rechneten und was sie sich ggf. notierten.

Aufgaben der Untersuchung von Selter:

527+399 845-399

250+379+250 701-698

286+437 836-567

199+198 649-347

119+120+121 610-590

345+634 758-515

Die Untersuchung ergab unter anderem, dass das schriftliche Rechnen, nach ihrer Einführung, die am meisten genutzte Rechenmethode war, das halbschriftliche Rechnen fast völlig verschwand und das Kopfrechnen einen immer noch relativ großen Anteil ausmachte. Tabelle 1) und 2) spiegeln dieses Ergebnis wieder. Bemerkenswert waren allerdings solche Erkenntnisse, dass selbst die Aufgabe 701-698 von ungefähr 50% der Schüler schriftlich und nicht im Kopf oder halbschriftlich gerechnet wurde.

Anteil der Rechenmethoden zu unterschiedlichen Zeitpunkten (vgl. Selter)

		Mündlich	Halbschriftlich	Schriftlich	Gemischt
Februar	Addition	55,4%	32,0%	7,1%	6,4%
	Subtraktion	51,5%	36,3%	6,6%	5,6%
Juni	Addition	32,3%	5,8%	59,6%	2,2%
	Subtraktion	27,6%	10,5%	59,5%	2,5%
Oktober	Addition	35,2%	8,0%	52,9%	4,0%
	Subtraktion	32,5%	8,2%	55,6%	3,8%

Tabelle 1)

Es gab in der Untersuchung keine gravierenden Unterschiede in dem Anteil der Rechenmethoden zu unterschiedlichen Zeitpunkten zwischen Additions- und der Subtraktionsaufgaben. Um die Tabelle 2) übersichtlicher zu gestalten wurden deswegen nur die Ergebnisse der Additionsaufgaben zugrunde gelegt.

Die Frage, ob es deutliche Unterschiede in den Erfolgsquoten der Schüler gibt, kann man an der dritten Teiluntersuchung im Oktober verdeutlichen.

Methodenwahl im Oktober (vgl. Selter)

	Additionsaufgaben	Subtraktionsaufgaben
Gesamtzahl der Schüler/innen	260 (100%)	260 (100%)
Nur schriftlich	111 (≈43%)	112 (≈43%)
Nur mündlich	69 (≈27%)	61 (≈23%)
Nur halbschriftlich	14 (≈5%)	12 (≈5%)
Einmal anders	20 (≈8%)	32 (≈12%)
Sonstiges/variabel	46 (≈18%)	43 (≈17%)

Tabelle 3)

Wie man in der Tabelle 3) sehen kann, zeigt sich eine deutliche Stabilität in der Auswahl der „geeigneten" Rechenmethode. Nahezu ¾ der Schüler lösten alle Aufgaben mit derselben Rechenmethode. Zählt man noch die Schüler hinzu, die „nur" einmal eine andere Rechenmethode gewählt haben, erhöht sich der Anteil der „stabilen Rechner" auf etwa 5/6.

Diese Werte können nun mit dem Anteil der korrekten Lösungen in Beziehung zueinander gesetzt werden.

Anteil (in %) korrekter Lösungen in der dritten Untersuchungsphase (Oktober) und Anzahl der Lösungen je Methode auf volle % gerundet (vgl. Selter)

	Addition % r L*	Anzahl Lösungen je Methode	Subtraktion % r L*	Anzahl Lösungen je Methode
Kopf	78%	552 (≈37%)	62%	511 (≈34%)
Halbschriftlich	78%	125 (≈8%)	36%	131 (≈9%)
Schriftlich	89%	830 (≈55%)	71%	874 (≈58%)

* % r L: Prozentsatz richtiger Lösungen

Tabelle 4)

In der Tabelle 4) sieht man sehr deutlich eine sehr geringe Beachtung des halbschriftlichen Rechnens, betrachtet man die Anzahl der Lösungen je Methode nach der Einführung der schriftlichen Rechenmethode. Es wurden lediglich 256 (125 der Additions- und 131 der Subtraktionsaufgaben) bzw. 8,5% der gesamten Aufgaben halbschriftlich gelöst. Auffällig ist hierbei noch, dass die Unterschiede zwischen den Anwendungen der verschiedenen Rechenmethoden, jeweils bei der Addition und Subtraktion, relativ gering sind, betrachtet man die Anzahl der Lösungen je Methode.

Bei der Addition erweist die schriftliche Rechenmethode den größten Erfolg an richtigen Lösungen (89% richtige Lösungen). Allerdings unterscheiden sich die Anteile der korrekten Lösungen beim halbschriftlichen Rechnen und Kopfrechnen nicht (jeweils 78% richtige Lösungen).

Bei der Subtraktion ist der Anteil der richtigen Lösungen mit der schriftlichen Rechenmethode (71%) weit vor dem Anteil, der durch das halbschriftliche Verfahren (36%) oder durch reines Kopfrechnen (62%) gelöst wurde.

Vergleicht man abschließend noch in der Tabelle 5) und 6) den Prozentsatz korrekter Lösungen gesamt (im Untersuchungsverlauf), ist ein deutlicher Anstieg an richtigen Lösungen zu bemerken, „...der mit ziemlicher Sicherheit mit der Einführung der schriftlichen Rechenmethoden begründet werden kann." (Padberg, 2005).

Prozentsatz korrekter Lösungen gesamt (vgl. Selter)

	Februar	Juni	Oktober
Addition	61,6%	78,3%	82,8%
Subtraktion	41,2%	57,5%	64,4%

Tabelle 5)

2.) Stärken und Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens

Wenn man ein „ideales Umfeld" als Gegeben voraussetzt, lassen sich einige Stärken des halbschriftlichen Rechnens wiedergeben. (vgl. Padberg)

Die Bedingungen für das „ideale Umfeld" sind hierbei:

- die Schüler

o haben alle entsprechende Vorkenntnisse und setzten diese jeweils geeignet ein

o sind stets am selbstständigen Entdecken möglichst vieler unterschiedlicher oder auch optimaler Lösungswege interessiert

o arbeiten immer im Unterricht mit und sind „bei der Sache"

- die Lehrer

o besitzen genügende Kenntnisse über die verschiedenen halbschriftlichen Rechenstrategien, die sie bei den einzelnen Schülern in den individuellen Ansätzen schnell und zutreffend erkennen,

o besitzen gute Verständigungsmöglichkeiten für sich und die Schüler untereinander

- das Schulbuch

o gestattet es das halbschriftliche Rechnen möglichst offen zu gestalten

2.1.) Stärken des halbschriftlichen Rechnens

- Offener Mathematikunterricht

Schüler finden, abhängig von den individuellen Neigungen und Fähigkeiten sowie Aufgabenstruktur und Aufgabenkontext, eigene individuelle Wege zur selbstständigen Lösung einer Aufgabe

- Flexibles, bewegliches Denken und Förderung der Kreativität

Schüler gehen strategisch geschickt und nicht nach starr vorgegebenen Wegen an die Aufgabe heran. Dabei wenden sie Rechengesetze als Rechenvorteile an oder vereinfachen Aufgaben durch operatives Verändern. Für die Schüler gibt es somit viele Möglichkeiten zum selbstständigen Entdecken.

- Zahlen- statt Ziffernrechnen

Da mit Zahlen und nicht mit Ziffern gerechnet wird, bleibt das Rechnen für die Schüler anschaulich und verständlich. So verstehen Schüler auch besser das dezimale Stellenwertsystem und das Zahl- und Größenverständnis wird gefördert. Es wird beim halbschriftlichen Rechnen mit Zahlen, Zahlvorstellungen und Zahldarstellungen operiert.

- Interaktion und Kommunikation

Schüler lernen ihre verschiedenen Lösungswege und Strategien den Mitschülern gegenüber zu formulieren, zu diskutieren, zu argumentieren, übersichtlich aufzuschreiben und so für andere zugänglich zu machen (z.B. in einer Strategiekonferenz). Durch das z.B. Vergleichen, Überprüfen und Bewerten kann neues Wissen für andere geschaffen werden.

- Differenzierter Unterricht

Aufgaben können auf verschiedenen Stufen (leichtere, aufwändigere, schwierigere, kürzere) oder mit nur einer oder mehreren Strategien gelöst werden. Zudem besteht eine Variationsbreite der einzusetzenden Strategien.

- Entlastung des Kopfrechnens

Durch die Verringerung von Merkprozessen wird das Gedächtnis entlastet und verringert so die möglichen Fehler gegenüber dem Kopfrechnen.

- Vorbereitung auf Kopfrechnen

Hilft das Kopfrechnen auch mit größeren Zahlen durchzuführen. Aufgaben mit größeren Zahlen können erst halbschriftlich, mit immer kürzer werdenden Notationsformen gelöst werden, bis sie dann durch „reines" Kopfrechnen gelöst werden können.

Betrachtet man allerdings den realen Mathematikunterricht ergeben sich einige Problembereiche bei der Behandlung der halbschriftlichen Rechenmethode.

2.2.) Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens

- Hohe Anforderungen

In den Klassen besteht eine große Leistungsheterogenität.

Deswegen ist es sehr anspruchsvoll, vor allem für die Lehrer, die Vorzüge des halbschriftlichen Rechnens nur annähernd zu verwirklichen.

Außerdem werden auch sehr hohe Anforderungen, gerade an die leistungsschwächeren Schüler, gestellt. Solche Aufgaben sind für sie kaum lösbar, da sie oft Analogien im Hunderterraum nicht sehen, Grundaufgaben nicht auswendig beherrschen und heuristische Strategien nicht erfolgreich anwenden können.

- Sicherheit durch normierte und automatisierte Verfahren

Normierte und automatisierte Verfahren sind für viele Lehrer und Schüler hilfreich und zum Teil sogar notwendig. Dadurch sind die Zielvorstellungen bezüglich der Lern- und Denkprozesse durch das halbschriftliche Rechnen nur schwer erzielbar.

- Mechanisches Rechnen; „halbschriftliches Normalverfahren"

Schüler variieren ihre Strategien selbst bei gezielter Aufgabenauswahl äußerst selten. Fast jede Aufgabe wird mit derselben Strategie gelöst.

- Normierung durch Schulbücher

Die meisten Schulbücher stellen 1 bis höchstens 2 Wege pro Rechenoperation vor, die von den Schülern als Normalverfahren verstanden werden. Die Vorzüge des halbschriftlichen Rechnens kommen so nicht zum Tragen.

Einige Beispiele aus Schulbüchern:

„Denken und Rechnen 3"

In diesem Beispiel wird nur das „Schrittweise Rechnen" vorgestellt.

„Leonardo 3"

In diesem Beispiel das „Stellenweise Rechnen" und das „Schrittweise Rechnen" vorgestellt.

„Mathematik 3"

In diesem Beispiel wird nur das „Schrittweise Rechnen" vorgestellt.

- Problematik allgemein verständlicher Lösungswege

Durch die (durchaus gewollte) Individualität der Notationsformen ist es für die Lehrer und Mitschüler oftmals schwer den Lösungsweg nachvollziehen zu können. Somit ist wieder eine gewisse Normierung notwendig, damit die Lehrer und auch Mitschüler angemessen reagieren/auf den Weg eingehen können. Andernfalls kann es dazu führen, dass sich fehlerhafte Vorstellungen über die verschiedenen Lösungswege der Mitschüler einschleichen und es kann zu Missverständnissen kommen.

- Schriftliche Rechenmethoden als Lieblingsmethode

Schüler gebrauchen nach der Einführung der schriftlichen Rechenmethoden kaum noch die halbschriftlichen Rechenmethoden. Schnelligkeit, Sicherheit und Einfachheit sind hierbei die entscheidenden Vorteile für die Schüler. Auch sind so alle Aufgaben mit nur einer Methode lösbar und die Schüler müssen nicht über einen geeigneten Lösungsweg nachdenken.

- Geringere Erfolgsquoten

Beim halbschriftlichen Rechnen sind die Erfolgsquoten (gerade bei der Subtraktion) geringer als beim schriftlichen Rechnen.

- Zusätzlicher Lernstoff

Für die Schüler bedeuten die verschiedenen halbschriftlichen Strategien zusätzlichen Lernstoff vor allem auch, weil nicht unbedingt alle Strategien selbsterklärend sind.

- Aufwändige Schreibweise/nur Übergang zum schriftlichen Rechnen

Gerade bei größeren Zahlen ist das halbschriftliche Rechnen bei der Notation sehr aufwendig.

- Taschenrechner

Aus der Sicht der Schüler ist das halbschriftliche aber auch das schriftliche Rechnen, aufgrund der fehlenden Bedeutung für das alltägliche Leben, absolut überflüssig, zumal im Alltag oft auch Überschlagsrechnungen oder Schätzungen ausreichend sind.

3.) Empfehlungen für die Behandlung des halbschriftlichen Rechnens

Allgemein kann man festhalten, dass es nicht sinnvoll ist nur die Vorteile des halbschriftlichen Rechnens zu betrachten, wie es in vielen Publikationen der Fall sei (vgl. Padberg), genauso wenig sollte man aber den Nachteilen und Schwierigkeiten zu große Aufmerksamkeit schenken und das halbschriftliche Rechnen als eine „Übergangserscheinung" abhandeln. Es sei wichtig (vgl. Padberg) ein „...ausgewogenes Verhältnis zwischen diesen beiden Rechenmethoden..." zu finden und es könne kein "entweder - oder" geben. Das halbschriftliche Rechnen solle somit deutlich aufgewertet und das schriftliche Rechnen gleichzeitig zurückgefahren werden, wobei es wichtig sei das schriftliche Rechnen nicht zu stark zurückzunehmen.

Auf jeden Fall sollte man festhalten, dass das halbschriftliche Rechnen „...wegen seiner Bedeutung für die Förderung des Zahlverständnisses und wegen seines engen Zusammenhangs mit dem „reinen" Kopfrechnen ein wichtiger Unterrichtsbestandteil ist. Im alltäglichen Leben wird das gestützte Kopfrechnen (halbschriftliche Rechnen) vor allem beim überschlägigen Rechnen benötigt. Die Bedeutung für die Vorbereitung des schriftlichen Rechnens ist sicher höchst nachrangig." (vgl. Radatz/Schipper) Es wäre außerdem sinnvoll die verschiedenen Rechenmethoden differenziert zu behandeln. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es somit auch keine einheitliche „optimale" Gewichtung für alle Schüler gibt.

3.1.) Differenzierung im Unterricht

Gerade für leistungsschwächere Schüler stelle „...die eigene Endeckung verschiedener, sinnvoller Lösungswege beim halbschriftlichen Rechnen für viele Schüler eine Überforderung dar." (vgl. Padberg) Daraus könne sich ergeben, dass es vielleicht sinnvoller sei, die leistungsschwächeren Schüler im Sinne einer Differenzierung bereits vorzeitig in das schriftliche Rechnen einzuführen (vgl. Radatz/Schipper) und beim halbschriftlichen Rechnen lediglich die notwendigen Voraussetzungen für die Strategien gründlich zu thematisieren sowie einen halbschriftlichen Weg (Schrittweises Rechnen) gemeinsam zu erarbeiten.

Bei den leistungsstärkeren Schülern kann man feststellen, dass sie verschiedene Strategien bei verschiedenen Aufgabenstellungen einsetzen. Es ist sinnvoll diese Schülergruppe die Lösungswege frei entdecken zu lassen. Allerdings kann man auch hier sagen, dass die Schüler nach einiger Zeit einige Lieblingsmethoden gespeichert haben, die sie dann nur noch verwenden. Zu dem kommt auch, dass sie bestrebt sind eine möglichst kurze Notationsform, und somit das schriftliche Rechnen, einzusetzen. (vgl. Padberg)

Für den größten Teil der Schüler, die, die im Mittelfeld liegen, ist es wohl eher am sinnvollsten einige Strategien intensiv zu behandeln. Denn es sei „...oft sinnvoller, wenige Strategien gut zu beherrschen als viele Strategien nur knapp und oberflächlich..." (vgl. Padberg). Schließlich seien diese Strategien nicht nur Lernhilfen sondern auch Lernstoff.

3.2.) Zahlenraum

Nach Padberg mache die Behandlung des halbschriftlichen Rechnens im Zahlenraum bis 100

Sinn, wobei das schriftliche Rechnen im Zahlenraum bis 1000 eingesetzt werden solle. Dies wird damit begründet, dass man im Zahlenraum bis 100 noch die verschiedenen Strategien entdecken und deutlich machen könne und dies somit zu einsichtigem Kopfrechnen führe. Im Zahlenraum bis 1000 sei das schriftliche Rechnen unter anderem aus Effizienzgründen sinnvoller.

3.3.) Wiederholung der Rechenmethoden

Nach Behandlung der schriftlichen Rechenmethoden sollte der Lehrer darauf achten ab und zu auch wieder andere Rechenmethoden zu thematisieren. So sollte man zum Beispiel gelegentlich den Schülern eine Aufgabe geben, wo sie viele verschiedene Lösungswege suchen sollen um eine Aufgabe zu lösen. Anschließend würde es sich anbieten mit den Schülern über die verschiedenen Lösungswege zu diskutieren und über die Vor- und Nachteile des jeweiligen Weges zu sprechen.

Ein sehr gutes Schulbuchbeispiel hierzu findet man in „Die Welt der Zahl 4". Diese Aufgabe wird als Wiederholungsaufgabe der dritten Klasse zu Beginn des vierten Schuljahres gestellt. Die Kinder sollen abwägen ob es geschickter ist im Kopf oder schriftlich zu rechnen.

Wichtig sei es vor allem auch immer „Eine Verbindung zwischen halbschriftlichen Rechnen und schriftlichen Normalverfahren..." herzustellen „...beispielsweise durch Fortschreitende Schematisierung im Sinne Treffers." (vgl. Padberg). Unter „Fortschreitender Schematisierung" versteht Treffers dass es Kindern ermöglicht werden könne, „...ausgehend von bedeutungsvollen Rechenhandlungen auf natürlichen Wegen zu den Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren zu gelangen." (vgl. Krauthausen) „Die Einzelschritte unterscheiden sich dann nicht nach äußerlicher Komplexität etwa hinsichtlich der Zahlengröße, sondern nach der Stufe der Schematisierung und dem Maße der Verkürzung, die in den Rechenhandlungen erreicht ist. Das schließt in sich, daß die Schüler schon von Anfang an mit recht großen Zahlen rechnen, dann allerdings auf der entsprechenden Stufe von Schematisierung und Verkürzung. Im Laufe der Zeit werden dieselben Aufgaben immer kürzer notiert und schneller berechnet. Die Dauer des Lehrgangs kann von Schüler zu Schüler variieren. Das erstrebte Endziel braucht nicht für alle Schüler übereinzustimmen. Einer heterogen zusammengesetzten Gruppe kann man dieselben Aufgaben stellen, die nach differenzierten Prozeduren gelöst werden." (vgl. Treffers) Entscheidend sei hierbei, dass die Schüler eine wirkliche Einsicht in dem haben, was sie machen. Dies erkennt man an der Art und Weise des geschickten Rechnens, der Ausnutzen von Rechengesetzen und einer strategischen Vorgehensweise (vgl. Treffers). Es ist ganz natürlich, dass die Schüler nach einer immer „einfacheren", schnelleren und weniger aufwendigern Form der Bearbeitung von Aufgaben streben. So gelangen sie quasi selbst, mit Hilfestellungen der Lehrperson in den späteren Phasen der Schematisierung, zu den Endformen der schriftlichen Rechenmethoden.

3.4.) Form der Notation

„Halbschriftliche Strategien - wie auch immer ihre Notation im Detail aussehen mag - können dem Kind anschaulich vor Augen führen, dass es im Zahlenreich Gesetzmäßigkeiten und „Muster" gibt, und öffnen damit den Blick für eine fundamentale Idee der Arithmetik." (vgl. Krauthausen ) „Es ist sinnvoll, die Kinder zu ermutigen alles aufzuschreiben, was sie für ihre Denkprozesse benötigen. Dabei sollte eine Stelle oder eine Kennzeichnung des Endergebnisses vereinbart werden." (vgl. Radatz/Schipper) Damit die Lehrer und auch die Schüler die Rechenwege anderer Schüler nachvollziehen können ist eine gewisse Normierung der Notation somit sinnvoll. Eine geeignete Notationsform für das schrittweise Rechnen, auch für schwächere Rechner, wäre z.B.:

82 - 27 = 55

82 - 20 = 62

62 - 7 = 55

Weiterhin ist es, als Diagnoseinstrument um das Lernen/Lösen der Schüler auf eigenen Wegen zu erkennen, sinnvoll die Schüler alle Zwischenergebnisse notieren zu lassen. Z.B.:

43 + 39 = 82

40, 70, 79, 82

Häufig beobachte man aber auch „bei den Kindern, die noch zählende Rechner sind, dass sie das Protokollieren verweigern oder aber „mogeln", indem sie einfach Zwischenschritte ihres Zählprozesses notieren." (vgl. Radatz/Schipper).

4.) Fazit

Abschließend kann man festhalten, dass es keine eindeutigen, allgemeinverbindlichen Empfehlungen für die Behandlung der halbschriftlichen Rechenmethoden gibt. Es sollte aber immer auf die Individualität der Schüler eingegangen werden.

Ich persönlich halte es für sinnvoll, einen gesunden Mittelweg zwischen dem schriftlichen und dem halbschriftlichen Rechnen zu finden. Außerdem ist es besonders wichtig, dass den Schülern immer wieder die Möglichkeit gegeben wird, Mathematik selber zu entdecken. Des Weiteren sollten alle Handlungen die der Schüler vollzieht und vollziehen soll auch an geeignetem Material verdeutlicht werden. Dies ist besonders wichtig, damit die Schüler ein Gefühl und ein wirkliches Verständnis für die Mathematik erhalten und ihnen durch das Handeln mit dem Material bewusst wird was sie tun.

Literaturverzeichnis:

In dem Teil meiner Ausarbeitung beziehe ich mich auf folgende Texte, Ausführungen und Literatur:

Eidt, Henner / Lammel, Roswitha / Voß, Eike / Wichmann, Maria (2001): Denken und Rechnen 3, 1. Auflage. Braunschweig: Westermann

Keller, Karl-Heinz / Pfaff, Peter (1996): Mathematik 3, 1. Auflage. Offenburg: Mildenberger Verlag

Krauthausen, Günter (1995): „Für die stärkere Betonung des halbschriftlichen Rechnens". In: Grundschule. Heft 5; S. 14-18.

Krauthausen, Günter (1993): „Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Normalverfahren, Taschenrechner: Für eine Neubestimmung des Stellenwertes der vier Rechenmethoden". In: Journal für Mathematikdidaktik 14. Heft ¾; S.189-219.

Mosel-Göbel, Doris / Stein, Martin (2001): Leonardo 3. Frankfurt am Main: Diesterweg

Padberg Friedhelm (2005): Didaktik der Arithmetik. München: Elsevier Spektrum Akademischer Verlag.

Palzkill, Dr. Leonard / Rinkens, Dr. Hans-Dieter / Hönisch, Kurt (1993): Die Welt der Zahl 4.Hannover: Schroedel Schulbuchverlag

Radatz, Hendrik / Schipper, Wilhelm (1983): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Hannover: Schroedel.

Radatz, Hendrik / Schipper, Wilhelm / Dröge, Rotraut / Ebeling, Astrid (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht, 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Radatz, Hendrik / Schipper, Wilhelm / Dröge, Rotraut / Ebeling, Astrid (1999): Handbuch für den Mathematikunterricht, 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Selter, Christoph (2002): „Flexibilität oder AutoMathik?". In: Grundschulunterricht. Heft 10; Seiten: 12-16.

Selter, Christoph (2000): „Vorgehensweisen von Grundschüler(inne)n bei Aufgaben zur Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 1000". In: Journal für Mathematik-Didaktik. Jahrgang 21. Heft 3;4. Seiten : 227-257.

Treffers, Adry (1983/1984): „Fortschreitende Schematisierung, ein natürlicher Weg zur schriftlichen Multiplikation und Division im 3. und 4. Schuljahr". In: Mathematik lehren, Heft 1; S. 16-20.